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극한점과 그 발견, 발표. 함수의 극단. "함수 연구에 미분의 적용" - 발표. 주제: “함수의 극값”

수업 목표: 교육적: - 지식을 체계화하고 지식과 기술 습득의 통제(자제, 상호 통제)를 위한 다단계 조건을 생성합니다. 발달: - 습득한 지식을 새로운 상황에 적용하는 능력 형성을 촉진하고, 개발합니다. 수학적 사고, 말하기 교육: - 수학, 활동, 이동성, 의사소통 기술에 대한 관심을 촉진합니다.


메모. 간격 방법. 기본 조항: 1. 제품의 부호(몫)는 요소(배당 및 제수)의 부호에 따라 고유하게 결정됩니다. 2. 짝수(홀수)개의 요인의 부호를 바꿔도 곱의 부호는 변하지 않습니다(반대로 바뀜). 3. 기울기가 0이 아닌 선형 함수의 부호와 가장 큰(또는 단일) 근 오른쪽에 있는 2차 함수의 부호는 선행 계수의 부호와 일치합니다. 4. 엄격하게 증가하는(감소하는) 함수에 근이 있으면 근의 오른쪽에 있는 함수는 양수(음수)이고 근을 통과할 때 부호가 변경됩니다. 참고: 1. 근이 없는 경우, 이차 함수의 부호는 이 함수 정의의 전체 영역에서 선행 계수의 부호와 일치합니다. 2. 설명 3과 설명 1은 모든 차수의 다항식에 유효합니다.




일정 작업. 일정 작업. y=x³-3x² 함수의 그래프를 보여주는 그림을 살펴보겠습니다. x=0 점의 이웃, 즉 이 점을 포함하는 일부 구간을 생각해 봅시다. 그러한 이웃이 존재하고 함수가 x=0 지점에서 가장 큰 값을 취한다는 것이 그림에서 분명합니다. 이 지점을 최대 지점이라고 합니다. 마찬가지로 x=2 지점을 최소 지점이라고 합니다. 이 지점의 함수는 x=2 근처의 어떤 지점보다 작은 값을 취하기 때문입니다. y=x³-3x² 함수의 그래프를 보여주는 그림을 살펴보겠습니다. x=0 점의 이웃, 즉 이 점을 포함하는 일부 구간을 생각해 봅시다. 그러한 이웃이 존재하고 함수가 x=0 지점에서 가장 큰 값을 취한다는 것이 그림에서 분명합니다. 이 지점을 최대 지점이라고 합니다. 마찬가지로 x=2 지점을 최소 지점이라고 합니다. 이 지점의 함수는 x=2 근처의 어떤 지점보다 작은 값을 취하기 때문입니다.


기억할 필요가 있습니다: 이 이웃과 x 0과 다른 모든 x에 대해 불평등이 충족되는 점 x 0의 이웃이 있는 경우 점 x 0을 함수 f(x)의 최대 점이라고 합니다. 점 x 0은 점 x 0의 이웃이 있고 이 이웃의 x 0과 다른 모든 x에 대해 부등식 f(x)f(x 0)이 유지되는 경우 함수 f(x)의 최대 점이라고 합니다. (그림 2) 최대점과 최소점을 극점점이라고 합니다. 최대점과 최소점을 극점이라고 합니다.


수학의 역사에서 조금: 피에르 페르마(Pierre Fermat). (1601 – 1665) 툴루즈 시의회 의원의 작업은 페르마가 수학을 하는 것을 막지 못했습니다. 점차적으로 그는 프랑스 최초의 수학자 중 한 명으로 명성을 얻었습니다. 그는 최대 및 최소 문제를 해결하기 위한 일반적인 방법인 분석 기하학을 만드는 데 있어 프랑스 과학자 R. 데카르트와 경쟁했습니다. 곡선에 대한 접선을 구성하고, 곡선 도형의 면적을 계산하고, 곡선 도형의 길이를 계산하는 그의 기술은 미분 및 적분 미적분학의 창안을 열었습니다. 페르마의 작업은 새로운 수학 과학인 정수론을 시작했습니다.


페르마의 정리. x 0이 미분 함수 f(x)의 극점이면 f(x)=0입니다. x 0이 미분 함수 f(x)의 극점이면 f(x)=0입니다. 페르마의 정리는 명확한 기하학적 의미를 갖습니다: 점 (x 0 ; f(x 0))에서 함수 y =f(x)의 그래프에 대한 접선, 여기서 x 0은 함수 y =f(의 극점입니다. x)는 가로축에 평행하므로 기울기 f(x)는 0입니다. 페르마의 정리는 명확한 기하학적 의미를 갖습니다: 점 (x 0 ; f(x 0))에서 함수 y =f(x)의 그래프에 대한 접선, 여기서 x 0은 함수 y =f(의 극점입니다. x)는 가로축에 평행하므로 기울기 f(x)는 0입니다.


고정점 및 임계점 함수의 도함수가 0과 같은 점을 고정점이라고 합니다. f(x) = 0이면 x가 극점이라고 말하기에는 충분하지 않습니다. 함수의 도함수가 0과 같거나 미분 불가능한 지점을 해당 함수의 임계점이라고 합니다. f(x)=x3 함수를 생각해 보세요. 그 미분은 f(x) = 3x², f(x) = 0입니다. 그러나 함수가 전체 수치 축을 따라 증가하므로 x=0은 극값이 아닙니다(그림 1). 정지점이 극점으로 되기 위한 충분조건을 공식화하라.


0을 점 x 0 및 f (x)의 왼쪽에 " title="Theorem: 함수 f (x)를 구간 (a; b), x 0 œ (a; b)에서 미분 가능하게 하세요. , 그리고 f (x) = 0. 그런 다음: 1) 함수 f(x)의 고정점 x 0을 통과할 때 그 도함수가 "플러스"에서 "마이너스"로 부호를 변경하는 경우, 즉 f(x)>0 지점 x 0의 왼쪽 및 f(x)" class="link_thumb"> 10 !}정리: 함수 f(x)가 구간 (a; b), x 0 ψ (a; b) 및 f (x)=0에서 미분 가능하다고 가정합니다. 그런 다음: 1) 함수 f(x)의 고정점 x 0을 통과할 때 그 도함수가 "플러스"에서 "마이너스"로 부호를 변경하는 경우, 즉 f(x)>0은 x0 지점의 왼쪽에 있고 f(x)0은 x0 지점의 왼쪽에 있고 f(x) 0 점 x 왼쪽 0 및 f (x) "> 0 점 x 왼쪽 0 및 f (x) 0 점 x 왼쪽 0 및 f (x) "> 0 점 x 왼쪽 0 및 f (x) " title ="정리: 함수 f(x)를 구간 (a; b), x 0 œ (a; b) 및 f (x) = 0에서 미분 가능하게 합니다. .그런 다음: 1) 함수 f(x)의 고정점 x 0을 통과할 때 그 도함수 기호가 "플러스"에서 "마이너스"로 변경되는 경우, 즉 f(x)>0 지점 x 0의 왼쪽 및 f(x)"> title="정리: 함수 f(x)가 구간 (a; b), x 0 ψ (a; b) 및 f (x)=0에서 미분 가능하다고 가정합니다. 그런 다음: 1) 함수 f(x)의 고정점 x 0을 통과할 때 그 도함수가 "플러스"에서 "마이너스"로 부호를 변경하는 경우, 즉 f(x)>0 지점 x 0의 왼쪽 및 f(x)"> !}


함수의 극값을 찾기 위한 계획입니다. 1. 함수의 도함수를 구합니다. 2. 함수의 고정점을 찾습니다. 즉, 미분은 0과 같습니다. 3. 구간법을 이용하여 도함수의 부호가 어떻게 변하는지 알아보세요. 4. 함수의 전환 기호를 사용하여 최소 또는 최대 포인트를 결정합니다.


작업 1을 생각해 보세요. 함수 f(x)=9x-3의 극점을 찾습니다. 풀이: 1) 함수의 도함수를 구합니다: f ´ (x)=9 2) 정지점 찾기: 정지점이 없습니다. 3) 이 함수는 선형이며 전체 수치 축을 따라 증가하므로 함수에 극점이 없습니다. 답: 함수 f(x)=9x-3에는 극점이 없습니다.


작업 2를 생각해 보세요. 함수 f(x)=x ² -2x의 극점을 찾습니다. 풀이: 1) 함수의 미분을 구합니다: f ´ (x)=2x-2 2) 정지점을 구합니다: 2x-2=0X=1. 3) 구간 방법을 사용하여 도함수의 부호가 어떻게 변하는지 알아봅니다(그림 참조). 4) x=1 지점을 지날 때 도함수의 부호는 "-"에서 "+"로 변경됩니다. ”, 따라서 x=1이 최소점입니다. 답: 점 x=1은 함수 f(x)= x² -2x의 최소 점입니다.


작업 3을 생각해 보세요. 함수 f(x)=x -4x³의 극점을 찾습니다. 해결책: 1) 함수의 도함수를 구합니다: f ´ (x)=4x³-12x² 2) 정지점을 찾습니다: 4x³-12x²=0 X1=0, x2=3. 3) 간격 방법을 사용하여 도함수의 부호가 어떻게 변하는지 알아냅니다(그림 참조). 4) x = 0인 점을 통과할 때 도함수의 부호는 변하지 않으며 이 점은 극점이 아닙니다. x 1 = 3 점을 통과할 때 도함수는 부호를 "-"에서 "+"로 변경하므로 x 2 = 3이 최소 점입니다. 답: 점 x=3은 함수 f(x)= x -4x³의 최소점입니다.


다음 작업을 독립적으로 완료하십시오. 1) 이 그림을 사용하여 함수 y=f(x)의 최대점과 최소점을 결정합니다. 2) 정지점 찾기: a) y=e ² -2e; b) y=2x³-15x² +36x; c) y=sinx-cosx; d) y=(2+x²)/x. 3) 함수의 극값을 찾습니다. a) f(x)=x³-x; b) f(x)=x -8x²+3; c) f(x)=x+sinx; d) f(x)=x-cos2x.


체육 분. 학생들은 장시간 컴퓨터 작업으로 인한 피로와 스트레스를 완화하기 위해 여러 가지 신체 운동을 수행하도록 권장됩니다. 1. 의자에 앉기: - 머리 뒤로 손을 뻗으세요. - 팔꿈치를 더 넓게 벌리고 머리를 뒤로 젖히세요. - 팔꿈치를 앞으로, 머리를 앞으로; - 팔이 편안해졌습니다. - 운동을 4~5회 반복합니다. 2. 의자에 앉기: - 머리를 부드럽게 뒤로 젖히세요. - 머리를 부드럽게 앞으로 기울이십시오. - 운동을 4~5회 반복합니다. 3. 눈 운동: - 빠르게 눈을 깜박입니다. - 눈을 감고 조용히 앉으세요. - 천천히 5까지 세어보세요. - 운동을 4~5회 반복합니다. 4. 눈 운동: - 눈을 꼭 감으세요. - 천천히 5까지 세어보세요. - 눈을 뜨고 먼 곳을 바라보세요. - 운동을 4~5회 반복합니다. 5. 눈 운동: - 뻗은 손의 검지를 봅니다. - 거리를 살펴보세요. - 운동을 4~5회 반복합니다.


테스트: 테스트를 수행하려면 C: 드라이브의 "Function Extrema" 폴더에 있는 "Test 1"이라는 파일을 열어야 합니다. 작업을 완료하면 지식에 대한 등급을 받게 됩니다. 또한 지식을 체계화하기 위해 다음 테스트를 수행하여 이전에 학습한 내용(“테스트 2”, “테스트 3”, “테스트 4”, “테스트 5”)을 반복할 수 있습니다. 테스트를 수행하려면 C 드라이브의 "Function Extrema" 폴더에 있는 "Test 1"이라는 파일을 열어야 합니다. 작업을 완료하면 지식에 대한 등급을 받게 됩니다. 또한 지식을 체계화하기 위해 다음 테스트를 수행하여 이전에 학습한 내용(“테스트 2”, “테스트 3”, “테스트 4”, “테스트 5”)을 반복할 수 있습니다.

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슬라이드 캡션:

함수의 극단

f' (x) =0이거나 존재하지 않는 함수 정의 영역의 점을 이 함수의 임계점이라고 합니다. 오직 그것들만이 함수의 극한점이 될 수 있습니다. (그림 1 및 2). f′ (x 1) =0 f′ (x 2) =0

f′ (x) =0 극값이 극값이 아닌 함수 정의 영역의 점

x o를 함수 f(x) 및 f ′ (x o) = 0 정의 영역의 한 지점으로 설정합니다. 함수의 도함수가 x o 지점에서 부호를 "+"에서 "-"로 변경하거나 그 반대로 변경하는 경우 , 이 지점은 극한점입니다. X 1 X 2 X 최대 1 X 2분

함수 X 0의 극값은 이 이웃의 모든 x ≠ x 0에 대해 불평등 f(x) ˂ f(x 0)가 되는 점 x 0의 이웃이 있는 경우 함수의 최대 점(max)입니다. 만족합니다. X 0은 이 이웃의 모든 x ≠ x 0에 대해 부등식 f(x) ˃ f(x 0)가 충족되는 점 x 0의 이웃이 있는 경우 함수의 최소 점(최소)입니다.

그림 1 그림 2 함수 y =f(x)의 주어진 그래프를 기반으로 다음을 나타냅니다. - 임계점; - 고정점; - 함수의 극단.

함수의 극점을 검색하는 알고리즘: 1. 함수의 도함수를 찾습니다. 2. 도함수를 0과 동일시합니다 - 고정점을 찾습니다. 3. "부호"로 파생 상품을 조사하여 결론을 도출합니다.

작업 완료 1. 함수의 최대점 찾기 2. (0;)에서 (0;)에서 함수의 최소점 찾기

B 8 2 9 그림은 구간에 정의된 함수의 그래프를 보여줍니다. 함수의 극점의 합을 구합니다. 삼. -2 1 4 5 8 10 -2+1+3+4+5+8+10=…

그림은 구간 (-9;8)에 정의된 함수 f(x)의 도함수 그래프를 보여줍니다. (-3;3) -3 3 B8 - 2 + - 구간에서 함수의 극점을 찾습니다.


주제: 방법론 개발, 프레젠테이션 및 메모

"함수 증가 및 감소. 함수의 극값"이라는 주제로 11학년 대수학 수업을 위한 프레젠테이션입니다.

프레젠테이션은 세 가지 강의로 구성됩니다. 다른 선생님들의 발표 자료 중 일부를 가져왔는데, 이미 준비된 자료를 특정 수업에 맞게 준비하는 것이 편리합니다.

0\nу >0\n\n인수가 증가함에 따라 함수의 값이\n증가하는 경우\n함수 y=f(x)는\n간격에 따라 증가한다고 합니다.\n\n함수 y=f(x) )는 더 큰 인수 값이\n더 큰 값에 해당하면 증가합니다. \n함수 값\ny=f(x)\nу >0\n\n정리: 구간의 도함수가\n양수이면 함수 y= f(x)는\n간격이 증가합니다..jpg","smallImageUrl":" http:\/\/pedsovet.su\/\/_load-files\/load\/38\/56\/9\/f \/3-page-2_300.jpg"),("number":3, "text":"2. 감소 함수\n\n함수 y=f(x)는 다음과 같은 경우\n간격으로 감소라고 합니다. 인수가 증가하면\n함수 값이 감소합니다.\n\n인수의 더 큰 값이\n더 작은 값에 해당하면 함수가 감소합니다.\n 함수는 매우 간단합니다..jpg","smallImageUrl":"http:\/\ /pedsovet.su\/\/_load-files\/load\/38\/56\/9\/f\/3-page-4_300 .jpg"),("번호":5,"텍스트":" 4. 최소 점\n\n점 x = a는 이 점의 도함수가\n0이고 이 점을 왼쪽에서\n오른쪽으로 지나갈 때 함수 y=f(x)의 최소 점이라고 합니다. 미분의 부호는 (-)에서 (+)로 변경됩니다.\n\nf(x\n)\n\nу >0\nу >0\n\nу 0\n\n –\n\ nmi\nn\n\n+\n\nx\n\nx0\n\n함수의 그래프에서\n최소점을 인식하는 것은 매우 쉽습니다.\n최소점 부근의\n함수 그래프는\n \n부드러운 "빈" 모양\n n\n최소 및 최대 포인트는\n극점 포인트라고 합니다..jpg","smallImageUrl":"http:\/\/pedsovet.su\/\/_load-files\/load \/38\/56\/9\ /f\/3-page-5_300.jpg"),("number":6,"text":"함수 y=f(x)는 \에서 볼록하다고 합니다. 함수 그래프의 모든 점이\n접선 아래에 있는 경우 n간격입니다.\nn\n5..jpg","smallImageUrl":"http:\/\/pedsovet.su\/\/_load-files\/ load\/38\/56\/9\/f\/3-page- 6_300.jpg"),("번호":7,"text":"6. 함수의 오목성\n\n함수 그래프의 모든 점이 접선 위에\n위치하면\n함수 y=f(x)를 일정 간격으로 오목하다고 합니다.\n\nу”>0\n\nу” >0\n\nя\nнннт \n\nа\nн\nл\nе\nаt\n\nа\nкас\n\nс\nка\n\ny=f(x)\n\nу”>0\nkasa \ntel\n\naya\n \n정리: 이 간격의 2차 도함수가 양수인 경우\n함수 y=f(x)는\n간격에서 오목합니다..jpg","smallImageUrl":"http:\/\ /pedsovet.su\/\/_load-files \/load\/38\/56\/9\/f\/3-page-7_300.jpg"),("번호":8,"텍스트":" 점 P를 함수 y=f( x)의 변곡점이라고 합니다. 이 점을 왼쪽에서 오른쪽으로 통과할 때 2차 도함수의 부호가 변경됩니다.\n\n\ n\nP1\nP2\nу”0\nP1\n\ny=f(x) \n\nу”0\n\n함수의 그래프에서 변곡점을\n인식하는 것은 매우 쉽습니다. \n변곡점 부근의\n함수 그래프는\n"언덕"과 "계곡" 사이의\n경계를\n\nР\n\n","imageUrl":"http:\/\/ pedsovet.su\/\/ _load-files\/load\/38\/56\/9\/f\/3-page-8..jpg"),("번호":9,"text":" 8. 함수 0\n\n함수 그래프가 OX 축과 교차하는\n점을 함수의 0이라고 합니다.\n이 점의 세로 좌표는 0..jpg","smallImageUrl":"http: \/\/pedsovet.su\/\/_load-files\/load\ /38\/56\/9\/f\/3-page-9_300.jpg"),("번호":10,"text ":"목록\n참고자료:\n문학:\n교과서:\n교과서:Bogomolov, \nBogomolov, N.\nN.V.\nV. 실기\n실습 수업\n수학 수업:\n수학:\n교과서\n교과서\n설명서 \n학생\n중간 학생용.\n중등 전문\n전문 연구\n교과서.기관\n기관\n\n프레젠테이션\n프레젠테이션은\n\n수학\n수업\n수학 수업에\n사용할 수 있습니다. \n주제 "파생\n"과 관련하여\n파생이 없는\n응용 프로그램을\n적용하여\n그래프의 속성을\n공식화하는 능력,\n함수\n파생 포인트. 극값\다음\n및 굴절.\n변형. 함수의 증가\n증가 및 볼록성\n볼록성."\nfunctions"..jpg","smallImageUrl":"http:\/\/pedsovet.su\ /\/_load- 파일\/로드\/38\/56\/9\/f\/3-page-10_300.jpg")]">

설명문

주제에 대한 수학 발표 : “유도체. 극한점과 변곡점. 함수의 증가 및 볼록성» 중등 직업 교육 기관의 1학년 학생 또는 중등 학교 10~11학년 학생을 대상으로 합니다.

교육 과정에서 프레젠테이션을 사용하는 목적:

    교사의 설명과 함께 수업 중 프레젠테이션의 시각적 시연

    주제에 관한 자료에 대한 독립적 연구(자료 메모 가능)

    원격 학습 중에 프레젠테이션을 사용할 수 있는 다양한 기회

    함수 그래프의 속성을 독립적으로 공식화하여 훈련 중 자료를 강화합니다.

프레젠테이션은 수업 중 시각 보조 자료로, 주제에 대한 독립적인 학습을 위해, 또는 수업 결석으로 인해 학생들의 지식 격차를 메우기 위해 사용할 수 있습니다.

프레젠테이션에는 사용자 친화적인 인터페이스가 있고, 사용하기 쉽고, 시각적이고 유익하며, 하이퍼링크와 트리거를 사용합니다.

2013년 10월 4일 수학 교사 T.B.

프레젠테이션 스크린샷:

슬라이드 1

GBOU SPO PETROZAVODSK 임업 기술 “파생. 극한점과 변곡점. 함수의 증가 및 볼록성" 작업 알고리즘: 1. 프레젠테이션을 사용하면 주제에 대한 기본 개념을 형성하고 파생 항목의 관점에서 함수의 속성을 익힐 수 있습니다. 2. 프레젠테이션에는 정의, 그래프, 속성 및 정리가 포함되어 있으며 필요한 경우 일시 중지를 눌러 확인할 수 있습니다. 3. 콘텐츠로 이동하려면 - 프레젠테이션 관리 - 마우스를 클릭하여 웹사이트의 프레젠테이션 대회 "인터랙티브 모자이크" 대화형 매뉴얼은 Petrozavodsk 산림 기술 대학의 수학 교사가 완성했습니다. FALINA TATYANA BORISOVNA Petrozavodsk 2013

슬라이드 2

슬라이드 3

1. 증가 함수 y >0 y >0 함수 y=f(x)는 인수가 증가함에 따라 함수의 값이 증가하는 경우 일정 간격으로 증가한다고 합니다. 인수의 더 큰 값이 함수 y의 더 큰 값에 해당하면 증가합니다. =f(x) у >0 정리: 구간의 도함수가 양수이면 이 구간의 함수 y=f(x)입니다. 증가합니다.

슬라이드 4

2. 감소 함수 y=f(x) 함수는 인수가 증가함에 따라 함수 값이 감소하는 경우 일정 간격으로 감소한다고 합니다. 인수의 더 큰 값이 함수 y의 더 작은 값에 해당하면 함수가 감소합니다.< 0 у < 0 y=f(x) Теорема: Если производная на промежутке отрицательная, то функция y=f(x) на данном промежутке убывает.

슬라이드 5

3. 최대점 점 x=a를 함수 y=f(x)의 최대점이라고 하며, 이 점에서의 도함수가 0이면 이 점을 왼쪽에서 오른쪽으로 지날 때 도함수의 부호가 (+)에서 (-)로 변경 최대 f(x ) у >0 у >0 + – x x у< 0 y=f(x) у < 0 у >0 0 함수 그래프를 통해 극대점을 알아보는 것은 매우 쉽습니다. 최대점 근처의 함수 그래프는 부드러운 "언덕" x xma처럼 보입니다.

슬라이드 6

4. 최소점 점 x=a를 함수 y=f(x)의 최소점이라고 하며, 이 점에서의 도함수가 0과 같을 때, 이 점을 왼쪽에서 오른쪽으로 지날 때 도함수의 부호가 (-)에서 (+)로 변경 f(x) у >0 у >0 у< 0 y=f(x) у < 0 у >0 – min + x x0 함수 그래프에서 최소점을 인식하는 것은 매우 간단합니다. 최소점 부근의 함수 그래프는 완만한 "계곡"처럼 보입니다. 최소점과 최대점을 극점이라고 합니다. xx분

x1점을 최소점이라고 합니다.
기능
에프엑스(F(x)),
만약에
V
일부
점 x1의 근방이 만족됩니다.
불평등
에프(x) 에프(x1)
x0 및 x1 지점의 함수 값
그에 따라 호출됩니다
함수의 최대값과 최소값.
함수의 최대값과 최소값을 호출합니다.
함수의 극치.

와이
yf(x)
x1 x2
x3
엑스

한 간격에서 함수는 다음을 가질 수 있습니다.
몇 가지 극단값이 있을 수 있으며, 그럴 수도 있습니다.
한 지점의 최소값이 해당 지점의 최대값보다 큽니다.
또 다른.
일부 기능의 최대 또는 최소
간격에는 일반적인 경우가 없습니다.
함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값입니다.
어느 시점에서 x0이 미분 가능하다면
함수 f(x)는 극값을 갖고, 그 다음에는 어떤 지점에서
이 지점 부근에서 정리가 성립한다
이 시점에서 함수의 트러스와 파생물
0과 같음:
에프(x0) 0

그러나 함수는 한 점에서 극값을 가질 수 있습니다.
그 안에서는 구별이 불가능하다.
예를 들어, 함수
yx
그 지점에 최소값이 있습니다
x 0
하지만 이 시점에서는 구별할 수 없습니다.

함수 y=f(x)가 다음을 갖기 위해서는
x0 지점에서 극한값을 얻으려면 다음이 필요합니다.
이 시점에서의 파생물은 다음과 같습니다.
0이거나 존재하지 않았습니다.

필요가 충족되는 지점
극한상태라고 한다
중요하거나 고정적입니다.
따라서 어느 시점에 극한값이 존재한다면,
그렇다면 이 점이 매우 중요합니다.
그러나 중요한 점은 반드시 그런 것은 아닙니다.
극한점.

임계점과 극단 찾기
기능:
1
yx
2


와이(x)2x
x 0에서 y 2 x 0
2
x 0
와이 0
- 임계점

와이
x 0
yx
2
엑스

2
와이x1
3

필요한 극한 조건을 적용해 보겠습니다.
와이(x 1) 3x
2
x 0에서 y 3x 0
3
x 0
y 1
2
- 임계점

와이
yx
2
y 1
엑스

만약, x0점을 지나갈 때, 도함수는
미분 가능 함수 y=f(x) 변경
플러스에서 마이너스로 부호를 붙인 다음 x0이 점입니다.
최대, 마이너스에서 플러스이면 x0
최소점이 있습니다.

도함수의 부호를 플러스에서 마이너스로 바꾸면,
저것들. 어느 정도 간격으로
ㅏ; 엑스
0
에프엑스(x)0
그리고 어느 정도 간격으로
x ; 비
0
에프엑스(x)0
그러면 함수 y=f(x)는 다음과 같이 증가합니다.
ㅏ; 엑스
0

그리고 감소할 것이다
x ; 비
0
증가 함수의 정의에 따라
f(x0) f(x) 모두에 대해
xa; x0
감소하는 함수의 경우
f(x0) f(x) 모두에 대해
x0
x x0 ; 비
-최대 포인트.
증명은 최소값과 유사합니다.

1
함수의 도함수 찾기
yf(x)
2
함수의 임계점을 찾으십시오.
그의 미분은 0과 같거나
존재하지 않는다.

3
왼쪽 도함수의 부호를 조사하고
각 중요 항목의 오른쪽에
포인트들.
4
함수의 극값을 찾습니다.

극값에 대한 함수를 검사합니다.
와이x(x 1)
3

계획을 적용해보자
극한:
1
연구
기능
~에
함수의 미분 찾기:
y (x(x 1)) (x 1) 3x (x 1)
3
3
2
(x1) (x1 3x) (x1) (4x1)
2
2

2
중요한 점 찾기:
(x1) (4x1) 0
2
x1 1
1
x2
4

3
우리는 왼쪽의 파생상품의 부호를 조사하고
각 중요 항목의 오른쪽에
포인트들:
와이
와이
1
4
1
x=1 지점에는 극값이 없습니다.
엑스

4
함수의 극값 찾기:
27
1
f 분
256
4

1차 도함수가 미분 가능한 경우
x0 지점에서 함수 y=f(x)는 0과 같고,
이 시점에서 2차 미분
양수이면 x0은 점입니다.
최소, 그리고 2차 미분인 경우
음수이면 x0이 최대점입니다.

허락하다
에프(x0) 0
에프(x0) 0
따라서
에프(엑스) 에프(엑스) 0
그리고 x0 지점 근처에서, 즉

기능
에프엑스(f(x))
증가할 것이다
ㅏ; 비
포인트 x0을 포함합니다.
하지만
에프(x0) 0
간격에
ㅏ; 엑스
에프엑스(x)0
그리고 그 간격에
x ; 비
에프엑스(x)0
0
0

그래서 기능은
에프엑스(f(x))
x0 지점을 통과할 때 부호가 다음과 같이 변경됩니다.
마이너스에서 플러스로, 따라서 이 지점
최소점입니다.
비슷하게
입증되었습니다
최대 기능.
사고
을 위한

극값에 대한 함수를 연구하기 위한 계획
이번 사건은 앞선 사건과 비슷하지만
세 번째 단락은 다음으로 대체되어야 합니다:
3
2차 도함수를 구하고
각각의 부호를 결정
중요한 점.

두 번째 충분조건으로부터 다음이 도출됩니다:
임계점에서 2차 미분
함수가 0이 아닌 경우 이 지점은 다음과 같습니다.
극한점.
반대 진술은 참이 아닙니다.
임계점 2차 미분
함수가 0과 같다면 이 점은 또한
극한 지점이 될 수도 있다.
안에
이 경우에는 기능을 연구하기 위해
첫 번째로 충분한 양을 사용해야 합니다.
극단적인 상태.

"함수의 극값"이라는 주제에 대한 강의 및 프레젠테이션입니다. 11학년. 알리모프의 교과서.

문서 내용 보기
"8.12 함수의 극값."

주제: “함수의 극값”

나에게 말하면 잊어 버릴 것입니다.
보여주시면 기억하겠습니다.
저를 참여시켜 주시면 배울 것입니다.
중국의 지혜.

수업 목표:

교육적인:

    함수의 도함수에 대한 학생들의 지식을 바탕으로 임계점, 정상점 및 극점의 개념 정의를 공식화하고 이해하도록 돕습니다. 가설: 함수의 극한이 존재하기 위한 필요충분조건으로 이어집니다.

    학생들이 함수에서 임계점, 고정점, 극점의 존재를 분석 및 그래픽으로 결정하는 능력을 처음에 통합할 수 있는 조건을 만듭니다.

    학생들이 통합 주 시험에 응시할 수 있도록 준비하십시오.

교육적인:

교육 및인지 활동, 논리적 사고의 발전을 촉진합니다.

교육적인:

    관찰하고, 패턴을 알아차리고, 일반화하고, 유추하여 추론하는 능력을 개발합니다.

    학생의 사고력, 주의력, 언어력을 발전시키십시오.

    가장 큰 책임과 제한된 시간 속에서 일반적인 노동 기술을 개발합니다.

    다른 의견을 듣고 자신의 관점을 옹호하는 능력을 키우십시오.

수업 유형:새로운 자료 소개에 대한 강의.

수업 중:

나 . 정리 시간(정보보고 방법)

    지식을 업데이트 중입니다. "영감"

1. 함수의 미분을 계산합니다. (작업은 추가 자체 테스트를 통해 독립적으로 완료됩니다. 올바른 작업 수는 자체 제어 시트에 기록되어 있습니다.)

f(x) = 3x 2 – 4 x + 5

f(x) = 사인 x – cos x

f(x) = e x + 로그 x

f(x) = e 2x - 6e x + 7

f(x) = - x 3 + 3x 2 + 9 x - 29

2. 부등식을 해결합니다. (칠판에서)

3. 함수의 단조성 간격을 결정합니다. (칠판 앞에 학생이 두 명 있어요.)

A) f(x) = 3x – 9(1점)

나) f(x) = x 2 + 6x – 9(2점)

II . 연구 작업.(그래프 용지에)

질문에 답하십시오:

IV . 가설 제안(부분 검색(휴리스틱 방법))

(학생들이 가설을 제시함)

도함수의 부호가 "-"에서 "+"로 변경되고 지점 자체가 0과 같으면 이 지점이 함수의 최소 지점이 됩니다. (가설 제시 – 4점)

질문에 답하십시오:

    결과 그래프의 증가 및 감소 간격을 지정하십시오.

    이 점을 통과할 때 이 점 근처에서 도함수는 어떻게 동작합니까? 그리고 바로 이 시점에서?

교과서를 가지고 작업합니다.

페이지 265 – 266. 당신이 세운 가설을 본문에서 찾아보세요.

읽어.

최소점과 최대점을 극점점이라고 합니다.

오늘 수업에서는 무엇을 할 거예요?

(함수의 극점을 찾는 방법을 배웁니다)

우리 수업의 주제는 무엇입니까?

함수의 극값. 우리는 수업의 주제를 적었습니다.

학생의 메시지(학생들의 교육활동을 자극하는 방법)

당신이 제시한 가설은 4세기 전 프랑스 수학자 피에르 페르마에 의해 증명되었습니다.

(역사적 참고)

피에르 페르마(1601-1665) - 분석 기하학과 정수론(페르마의 정리)의 창시자 중 한 명인 프랑스 수학자. 확률 이론, 극소 미적분학 및 광학(페르마의 원리)에 대해 연구합니다.

(학생들은 정리의 공식을 읽습니다. )

책 작업 페이지 267

어느 지점이 고정, 중요인지 찾아보세요.

(함수의 도함수가 0이 되는 점을 호출합니다. 변화 없는

함수의 도함수가 0이거나 미분 불가능한 지점을 호출합니다. 이 기능의 중요한 포인트 )

신호 카드 작업.

진술이 사실인 경우 - "예", 그렇지 않은 경우 - "아니요"(게임 "YES, NO"

정답에 1점

페이지 268 정리 . (학생들은 그것을 읽고 어떻게 이해했는지 설명합니다)

극한의 충분한 신호.


보드에서: 올바른 실행을 위해 - 5점.

함수의 극점을 찾는 알고리즘 만들기.

1. 함수 정의 영역을 찾습니다.

2. f"( 엑스).

엑스) = 0 또는 f"( 엑스) 존재하지 않는다.
(분자의 영점에서는 도함수가 0이고, 분모의 영점에서는 도함수가 존재하지 않습니다)

4. 정의 영역과 좌표선에서 이러한 점을 찾습니다.

5. 각 구간에서 도함수의 부호를 결정합니다.

6. 표지판을 적용합니다.

7. 답을 적어보세요.

(실용적인 방법)

통합 상태 시험 자료 작업

함수 y = f (x)는 구간 (-4; 5)에서 정의됩니다. 그림은 파생 그래프를 보여줍니다. 함수 y = f (x)의 최소점 찾기

함수 y = f (x)는 구간 (- 6; 6)에서 정의됩니다. 그림은 파생 그래프를 보여줍니다. 함수의 도함수가 0이 되는 점을 찾으십시오(답변 : x = - 4; x = - 2; x = 1; x = 5).

수업 요약: 채점(자기 관리 시트 기준)

    학생의 반성

좀 더 잘 배울 수 있었으면 좋겠는데...

좋아요 …

나는 좋아하지 않는다…

수업하면서 느꼈던 점은..

숙제로 나는...


프레젠테이션 콘텐츠 보기
"8.12 함수의 극값"


나에게 말하면 잊어 버릴 것입니다. 보여주시면 기억하겠습니다. 저를 참여시켜 주시면 배울 것입니다.

중국의 지혜.


f(x) = 3x 2 – 4 x + 5

f(x) = 사인 x – cos x

f(x) = e x + 로그 x

f(x) = e 2x - 6e x + 7

f(x) = - x 3 + 3x 2 + 9 x - 29

cos x + 죄 x

2e 2배 – 6일 엑스

-3배 2 + 6 x + 9


함수를 그래프로 나타내세요: y = x 2 –6x + 8;

질문에 답하십시오:

  • 결과 그래프의 증가 및 감소 간격을 지정하십시오.
  • 함수의 최소점 이름을 지정하십시오.


  • 질문에 답하십시오:
  • 결과 그래프의 증가 및 감소 간격을 지정하십시오.
  • 함수의 최대점을 지정하십시오.
  • 이 점을 통과할 때 이 점 근처에서 도함수는 어떻게 동작합니까? 그리고 바로 이 시점에서?

질문에 답하십시오:

  • 결과 그래프의 증가 및 감소 간격을 지정하십시오.
  • 함수의 최대점을 지정하십시오.
  • 이 점을 통과할 때 도함수는 이 점 근처에서 어떻게 동작합니까? 그리고 바로 이 시점에서?

피에르 페르마(1601-1665) - 분석 기하학과 정수론(페르마의 정리) 창시자 중 한 명인 프랑스 수학자. 확률 이론, 극소 미적분학 및 광학(페르마의 원리)에 대해 연구합니다.

피에르 페르마(Pierre Fermat)는 극값과 접선을 찾는 방법을 발견했는데, 이는 현대적인 관점에서 보면 도함수를 찾는 것으로 귀결됩니다.


극한의 필수 기호 .





함수의 극점을 찾는 알고리즘

1. 함수 정의 영역을 찾습니다.

2. f"( 엑스 ).

3. 중요한 점을 찾으십시오. 여기서 f"( 엑스 ) = 0 또는 f"( 엑스 ) 존재하지 않는다. (분자의 영점에서는 도함수가 0이고, 분모의 영점에서는 도함수가 존재하지 않습니다)

4. 정의 영역과 좌표선에서 이러한 점을 찾습니다.

5. 각 구간에서 도함수의 부호를 결정합니다.

6. 표지판을 적용합니다.

7. 답을 적어보세요.


d/z: 조항 50, No. 912 (2.4),

913(2,4), 914(2,4)


  • 저 할 수 있어요 …
  • 알아요 …
  • 좀 더 잘 배울 수 있었으면 좋겠는데...
  • 좋아요 …
  • 나는 좋아하지 않는다…
  • 수업하면서 느꼈던 점은..
  • 숙제로 나는...

위대한 철학자 공자는 이렇게 말했습니다.“지식으로 가는 세 가지 길은 성찰의 길은 가장 고귀한 길이고, 모방의 길은 가장 쉬운 길이며, 경험의 길은 가장 괴로운 길이다.” 숙제를 함으로써 여러분 각자는 지식을 향한 자신만의 길을 갈 것입니다.

  • 공자,공자(孔子, 약 551년 ~ 기원전 479년 사망), 고대 중국 사상가, 유교의 창시자.