Υπολογίστε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου. Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου; Τύποι για τον υπολογισμό των παραμέτρων ενός παραλληλογράμμου

Περιοχή παραλληλόγραμμου

Θεώρημα 1

Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου ορίζεται ως το γινόμενο του μήκους της πλευράς του επί το ύψος που τραβιέται προς αυτό.

όπου $a$ είναι η πλευρά του παραλληλογράμμου, $h$ είναι το ύψος που τραβιέται σε αυτήν την πλευρά.

Απόδειξη.

Ας μας δοθεί ένα παραλληλόγραμμο $ABCD$ με $AD=BC=a$. Ας σχεδιάσουμε τα ύψη $DF$ και $AE$ (Εικ. 1).

Εικόνα 1.

Είναι προφανές ότι το σχήμα $FDAE$ είναι ένα ορθογώνιο.

\[\γωνία BAE=(90)^0-\γωνία A,\ \] \[\γωνία CDF=\γωνία D-(90)^0=(180)^0-\γωνία A-(90)^0 =(90)^0-\γωνία A=\γωνία BAE\]

Επομένως, εφόσον $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\τρίγωνο BAE=\τρίγωνο CDF$, κατά $I$ το τεστ ισότητας τριγώνου. Επειτα

Σύμφωνα λοιπόν με το θεώρημα του εμβαδού του ορθογωνίου:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Θεώρημα 2

Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου ορίζεται ως το γινόμενο του μήκους των παρακείμενων πλευρών του επί το ημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτών των πλευρών.

Μαθηματικά, αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής

όπου $a,\ b$ είναι οι πλευρές του παραλληλογράμμου, $\alpha $ είναι η γωνία μεταξύ τους.

Απόδειξη.

Ας μας δοθεί ένα παραλληλόγραμμο $ABCD$ με $BC=a,\ CD=b,\ \γωνία C=\άλφα $. Σχεδιάστε το ύψος $DF=h$ (Εικ. 2).

Σχήμα 2.

Εξ ορισμού του ημιτονοειδούς, παίρνουμε

συνεπώς

Ως εκ τούτου, από το Θεώρημα $1$:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Εμβαδόν τριγώνου

Θεώρημα 3

Το εμβαδόν ενός τριγώνου ορίζεται ως το μισό γινόμενο του μήκους της πλευράς του και του ύψους που τραβιέται σε αυτό.

Μαθηματικά, αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής

όπου $a$ είναι η πλευρά του τριγώνου, $h$ είναι το ύψος που τραβιέται σε αυτήν την πλευρά.

Απόδειξη.

Εικόνα 3

Έτσι από το Θεώρημα $1$:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Θεώρημα 4

Το εμβαδόν ενός τριγώνου ορίζεται ως το μισό γινόμενο του μήκους των παρακείμενων πλευρών του επί το ημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτών των πλευρών.

Μαθηματικά, αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής

όπου $a,\ b$ είναι οι πλευρές του τριγώνου, $\alpha $ είναι η γωνία μεταξύ τους.

Απόδειξη.

Ας μας δοθεί ένα τρίγωνο $ABC$ με $AB=a$. Σχεδιάστε το ύψος $CH=h$. Ας το οικοδομήσουμε μέχρι το παραλληλόγραμμο $ABCD$ (Εικ. 3).

Προφανώς, $\triangle ACB=\triangle CDB$ από $I$. Επειτα

Έτσι από το Θεώρημα $1$:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Περιοχή τραπεζίου

Θεώρημα 5

Το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς ορίζεται ως το μισό του γινόμενου του αθροίσματος των μηκών των βάσεων του επί το ύψος του.

Μαθηματικά, αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής

Απόδειξη.

Ας μας δοθεί ένα τραπέζιο $ABCK$, όπου $AK=a,\ BC=b$. Ας σχεδιάσουμε τα ύψη $BM=h$ και $KP=h$ σε αυτό, καθώς και τη διαγώνιο $BK$ (Εικ. 4).

Εικόνα 4

Με το θεώρημα $3$, παίρνουμε

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα εργασίας

Παράδειγμα 1

Βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου αν το μήκος της πλευράς του είναι $a.$

Λύση.

Εφόσον το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, όλες οι γωνίες του είναι ίσες με $(60)^0$.

Στη συνέχεια, από το Θεώρημα $4$, έχουμε

Απάντηση:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Σημειώστε ότι το αποτέλεσμα αυτού του προβλήματος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση του εμβαδού οποιουδήποτε ισόπλευρου τριγώνου με μια δεδομένη πλευρά.

Όπως και στην Ευκλείδεια γεωμετρία, το σημείο και η ευθεία είναι τα κύρια στοιχεία της θεωρίας των επιπέδων, έτσι και το παραλληλόγραμμο είναι ένα από τα βασικά σχήματα των κυρτών τετραπλευρών. Από αυτό, όπως τα νήματα από μια μπάλα, ρέουν οι έννοιες "ορθογώνιο", "τετράγωνο", "ρόμβος" και άλλα γεωμετρικά μεγέθη.

Σε επαφή με

Ορισμός παραλληλογράμμου

κυρτό τετράπλευρο,που αποτελείται από τμήματα, κάθε ζεύγος των οποίων είναι παράλληλο, είναι γνωστό στη γεωμετρία ως παραλληλόγραμμο.

Αυτό που μοιάζει με ένα κλασικό παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο ABCD. Οι πλευρές ονομάζονται βάσεις (AB, BC, CD και AD), η κάθετη που σύρεται από οποιαδήποτε κορυφή προς την αντίθετη πλευρά αυτής της κορυφής ονομάζεται ύψος (BE και BF), οι ευθείες AC και BD είναι οι διαγώνιοι.

Προσοχή!Το τετράγωνο, ο ρόμβος και το ορθογώνιο είναι ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράμμου.

Πλευρές και γωνίες: χαρακτηριστικά αναλογίας

Βασικές ιδιότητες, σε γενικές γραμμές, προκαθορισμένο από τον ίδιο τον προσδιορισμό, αποδεικνύονται με το θεώρημα. Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι τα εξής:

1. Οι πλευρές που είναι απέναντι είναι ίδιες σε ζεύγη.
2. Οι γωνίες που είναι αντίθετες μεταξύ τους είναι ίσες σε ζεύγη.

Απόδειξη: θεωρήστε τα ∆ABC και ∆ADC, τα οποία προκύπτουν διαιρώντας το τετράπλευρο ABCD µε την ευθεία AC. ∠BCA=∠CAD και ∠BAC=∠ACD, αφού το AC είναι κοινό σε αυτά (κάθετες γωνίες για BC||AD και AB||CD, αντίστοιχα). Από αυτό προκύπτει: ∆ABC = ∆ADC (το δεύτερο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων).

Τα τμήματα AB και BC στο ∆ABC αντιστοιχούν σε ζεύγη στις γραμμές CD και AD στο ΔADC, που σημαίνει ότι είναι πανομοιότυπα: AB = CD, BC = AD. Έτσι, το ∠B αντιστοιχεί στο ∠D και είναι ίσα. Αφού ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, που είναι επίσης πανομοιότυπα σε ζεύγη, τότε ∠A = ∠C. Η ιδιοκτησία έχει αποδειχθεί.

Χαρακτηριστικά των διαγωνίων του σχήματος

Κύριο χαρακτηριστικόαυτές τις παραλληλόγραμμες ευθείες: το σημείο τομής τις διχοτομεί.

Απόδειξη: έστω m. E το σημείο τομής των διαγωνίων AC και BD του σχήματος ABCD. Σχηματίζουν δύο ανάλογα τρίγωνα - ∆ABE και ∆CDE.

ΑΒ=CD αφού είναι απέναντι. Σύμφωνα με γραμμές και διατομές, ∠ABE = ∠CDE και ∠BAE = ∠DCE.

Σύμφωνα με το δεύτερο πρόσημο της ισότητας, ∆ABE = ∆CDE. Αυτό σημαίνει ότι τα στοιχεία ∆ABE και ∆CDE είναι: AE = CE, BE = DE και, επιπλέον, είναι ανάλογα μέρη του AC και του BD. Η ιδιοκτησία έχει αποδειχθεί.

Χαρακτηριστικά παρακείμενων γωνιών

Στις διπλανές πλευρές, το άθροισμα των γωνιών είναι 180°, αφού βρίσκονται στην ίδια πλευρά των παράλληλων ευθειών και της τομής. Για τετράπλευρο ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Ιδιότητες διχοτόμου:

1. , πεσμένα στη μία πλευρά, είναι κάθετα.
2. Οι απέναντι κορυφές έχουν παράλληλες διχοτόμους.
3. το τρίγωνο που προκύπτει σχεδιάζοντας τη διχοτόμο θα είναι ισοσκελές.

Προσδιορισμός των χαρακτηριστικών γνωρισμάτων παραλληλογράμμου με το θεώρημα

Τα χαρακτηριστικά αυτού του σχήματος προκύπτουν από το βασικό του θεώρημα, το οποίο έχει ως εξής: Το τετράπλευρο θεωρείται παραλληλόγραμμοστην περίπτωση που οι διαγώνιοί του τέμνονται και αυτό το σημείο τις χωρίζει σε ίσα τμήματα.

Απόδειξη: Έστω οι ευθείες AC και BD του τετράπλευρου ABCD τέμνονται στο t. E. Εφόσον ∠AED = ∠BEC, και AE+CE=AC BE+DE=BD, τότε ∆AED = ∆BEC (από το πρώτο πρόσηµο της ισότητας των τριγώνων). Δηλαδή, ∠EAD = ∠ΕΚΤ. Είναι επίσης οι εσωτερικές γωνίες διέλευσης της τέμνουσας AC για τις γραμμές AD και BC. Έτσι, εξ ορισμού του παραλληλισμού - μ.Χ. || ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. Μια παρόμοια ιδιότητα των γραμμών BC και CD προκύπτει επίσης. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Υπολογισμός του εμβαδού ενός σχήματος

Η περιοχή αυτού του σχήματος βρέθηκαν με διάφορους τρόπουςένα από τα πιο απλά: πολλαπλασιάζοντας το ύψος και τη βάση προς την οποία έχει τραβηχτεί.

Απόδειξη: Σχεδιάστε τις κάθετες BE και CF από τις κορυφές B και C. Οι ∆ABE και ∆DCF είναι ίσες αφού AB = CD και BE = CF. Το ABCD είναι ίσο με το ορθογώνιο EBCF, αφού αποτελούνται επίσης από αναλογικά ψηφία: S ABE και S EBCD, καθώς και S DCF και S EBCD. Από αυτό προκύπτει ότι το εμβαδόν αυτού του γεωμετρικού σχήματος είναι το ίδιο με αυτό ενός ορθογωνίου:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Για να προσδιορίσουμε τον γενικό τύπο για το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου, συμβολίζουμε το ύψος ως hb, και το πλάι σι. Αντίστοιχα:

Άλλοι τρόποι εύρεσης περιοχής

Υπολογισμοί επιφάνειας μέσω των πλευρών του παραλληλογράμμου και της γωνίας, που σχηματίζουν, είναι η δεύτερη γνωστή μέθοδος.

,

Spr-ma - περιοχή;

α και β είναι οι πλευρές του

α - γωνία μεταξύ των τμημάτων α και β.

Αυτή η μέθοδος βασίζεται πρακτικά στην πρώτη, αλλά σε περίπτωση που είναι άγνωστη. κόβει πάντα ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου οι παράμετροι βρίσκονται από τριγωνομετρικές ταυτότητες, δηλ. Μεταμορφώνοντας την αναλογία, παίρνουμε . Στην εξίσωση της πρώτης μεθόδου, αντικαθιστούμε το ύψος με αυτό το γινόμενο και λαμβάνουμε μια απόδειξη της εγκυρότητας αυτού του τύπου.

Μέσω των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου και μιας γωνίας,που δημιουργούν όταν τέμνονται, μπορείτε επίσης να βρείτε την περιοχή.

Απόδειξη: AC και BD τέμνονται σχηματίζουν τέσσερα τρίγωνα: ABE, BEC, CDE και AED. Το άθροισμά τους είναι ίσο με το εμβαδόν αυτού του τετράπλευρου.

Το εμβαδόν καθενός από αυτά τα Δ μπορεί να βρεθεί από την έκφραση , όπου a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Αφού , τότε στους υπολογισμούς χρησιμοποιείται μια μοναδική τιμή του ημιτόνου. Αυτό είναι . Εφόσον AE+CE=AC= d 1 και BE+DE=BD= d 2 , ο τύπος εμβαδού μειώνεται σε:

.

Εφαρμογή στη διανυσματική άλγεβρα

Τα χαρακτηριστικά των συστατικών μερών αυτού του τετράγωνου έχουν βρει εφαρμογή στη διανυσματική άλγεβρα, δηλαδή: η προσθήκη δύο διανυσμάτων. Ο κανόνας του παραλληλογράμμου λέει ότι αν δίνονται διανύσματακαιδενείναι συγγραμμικές, τότε το άθροισμά τους θα είναι ίσο με τη διαγώνιο αυτού του σχήματος, οι βάσεις του οποίου αντιστοιχούν σε αυτά τα διανύσματα.

Απόδειξη: από αυθαίρετα επιλεγμένη αρχή -δηλαδή. - κατασκευάζουμε διανύσματα και . Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε ένα παραλληλόγραμμο OASV, όπου τα τμήματα OA και OB είναι πλευρές. Έτσι, το ΛΣ βρίσκεται στο διάνυσμα ή στο άθροισμα.

Τύποι για τον υπολογισμό των παραμέτρων ενός παραλληλογράμμου

Οι ταυτότητες δίνονται υπό τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

1. α και β, α - πλευρές και η μεταξύ τους γωνία.
2. d 1 και d 2 , γ - διαγώνιες και στο σημείο τομής τους.
3. h a και h b - ύψη ​​χαμηλωμένα στις πλευρές a και b.

Παράμετρος	Τύπος
Εύρεση πλευρών
κατά μήκος των διαγωνίων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας
διαγώνια και πλάγια
μέσω ύψους και αντίθετης κορυφής
Εύρεση του μήκους των διαγωνίων
στα πλαϊνά και το μέγεθος της κορυφής μεταξύ τους
κατά μήκος των πλευρών και μία από τις διαγώνιους	 συμπέρασμα Το παραλληλόγραμμο, ως ένα από τα βασικά σχήματα της γεωμετρίας, χρησιμοποιείται στη ζωή, για παράδειγμα, στην κατασκευή κατά τον υπολογισμό της περιοχής της τοποθεσίας ή άλλων μετρήσεων. Επομένως, η γνώση σχετικά με τα διακριτικά χαρακτηριστικά και τις μεθόδους υπολογισμού των διαφόρων παραμέτρων του μπορεί να είναι χρήσιμη ανά πάσα στιγμή στη ζωή.

Κατά την επίλυση προβλημάτων σχετικά με αυτό το θέμα, επιπλέον βασικές ιδιότητες παραλληλόγραμμοκαι τους αντίστοιχους τύπους, μπορείτε να θυμάστε και να εφαρμόσετε τα ακόλουθα:

1. Η διχοτόμος της εσωτερικής γωνίας ενός παραλληλογράμμου αποκόπτει ένα ισοσκελές τρίγωνο από αυτό
2. Οι διχοτόμοι των εσωτερικών γωνιών που γειτνιάζουν με μία από τις πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι αμοιβαία κάθετες
3. Διχοτόμοι που προέρχονται από αντίθετες εσωτερικές γωνίες παραλληλογράμμου, παράλληλες μεταξύ τους ή βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή
4. Το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του
5. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι το μισό του γινόμενου των διαγωνίων επί το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.

Ας εξετάσουμε τις εργασίες στη λύση των οποίων χρησιμοποιούνται αυτές οι ιδιότητες.

Εργασία 1.

Η διχοτόμος της γωνίας C του παραλληλογράμμου ABCD τέμνει την πλευρά AD στο σημείο M και τη συνέχεια της πλευράς AB πέρα ​​από το σημείο Α στο σημείο E. Βρείτε την περίμετρο του παραλληλογράμμου εάν AE \u003d 4, DM \u003d 3.

Λύση.

1. Τρίγωνο CMD ισοσκελές. (Ακίνητο 1). Επομένως, CD = MD = 3 cm.

2. Το τρίγωνο ΕΑΜ είναι ισοσκελές.
Επομένως, AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Περίμετρος ΑΒΓΔ = 20 cm.

Απάντηση. 20 εκ

Εργασία 2.

Οι διαγώνιοι σχεδιάζονται σε ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD. Είναι γνωστό ότι τα εμβαδά των τριγώνων ABD, ACD, BCD είναι ίσα. Να αποδείξετε ότι το δοσμένο τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Λύση.

1. Έστω BE το ύψος του τριγώνου ABD, CF το ύψος του τριγώνου ACD. Εφόσον, σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, τα εμβαδά των τριγώνων είναι ίσα και έχουν κοινή βάση ΑΔ, τότε τα ύψη αυτών των τριγώνων είναι ίσα. BE = CF.

2. ΒΕ, ΚΦ είναι κάθετα στην ΑΔ. Τα σημεία Β και Γ βρίσκονται στην ίδια πλευρά της ευθείας ΑΔ. BE = CF. Επομένως, η γραμμή BC || ΕΝΑ Δ. (*)

3. Έστω AL το υψόμετρο τριγώνου ACD, BK το υψόμετρο τριγώνου BCD. Εφόσον, σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, τα εμβαδά των τριγώνων είναι ίσα και έχουν κοινή βάση CD, τότε τα ύψη αυτών των τριγώνων είναι ίσα. AL = ΒΚ.

4. Το AL και το BK είναι κάθετα στο CD. Τα σημεία Β και Α βρίσκονται στην ίδια πλευρά της ευθείας γραμμής CD. AL = ΒΚ. Επομένως, η γραμμή AB || CD (**)

5. Οι συνθήκες (*), (**) υποδηλώνουν ότι το ABCD είναι παραλληλόγραμμο.

Απάντηση. Αποδεδειγμένος. Το ABCD είναι παραλληλόγραμμο.

Εργασία 3.

Στις πλευρές BC και CD του παραλληλογράμμου ABCD σημειώνονται τα σημεία M και H, αντίστοιχα, έτσι ώστε τα τμήματα BM και HD να τέμνονται στο σημείο O.<ВМD = 95 о,

Λύση.

1. Στο τρίγωνο DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. Σε ορθογώνιο τρίγωνο DHC
(

Επειτα<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Δεδομένου ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το σκέλος που βρίσκεται απέναντι από μια γωνία 30 o είναι ίσο με το μισό της υποτείνουσας).

Αλλά CD = AB. Τότε AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Απάντηση: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Εργασία 4.

Μία από τις διαγώνιους ενός παραλληλογράμμου μήκους 4√6 σχηματίζει γωνία 60° με τη βάση και η δεύτερη διαγώνιος σχηματίζει γωνία 45° με την ίδια βάση. Βρείτε τη δεύτερη διαγώνιο.

Λύση.

1. AO = 2√6.

2. Εφαρμόστε το ημιτονικό θεώρημα στο τρίγωνο AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Απάντηση: 12.

Εργασία 5.

Για παραλληλόγραμμο με πλευρές 5√2 και 7√2, η μικρότερη γωνία μεταξύ των διαγωνίων είναι ίση με τη μικρότερη γωνία του παραλληλογράμμου. Να βρείτε το άθροισμα των μηκών των διαγωνίων.

Λύση.

Έστω d 1, d 2 οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου και η γωνία μεταξύ των διαγωνίων και της μικρότερης γωνίας του παραλληλογράμμου είναι φ.

1. Ας μετρήσουμε δύο διαφορετικά
τρόπους της περιοχής του.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Λαμβάνουμε την ισότητα 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Χρησιμοποιώντας τον λόγο μεταξύ των πλευρών και των διαγωνίων του παραλληλογράμμου, γράφουμε την ισότητα

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Ας φτιάξουμε ένα σύστημα:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Πολλαπλασιάστε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος επί 2 και προσθέστε την στην πρώτη.

Παίρνουμε (d 1 + d 2) 2 = 576. Επομένως Id 1 + d 2 I = 24.

Επειδή τα d 1, d 2 είναι τα μήκη των διαγωνίων του παραλληλογράμμου, τότε d 1 + d 2 = 24.

Απάντηση: 24.

Εργασία 6.

Οι πλευρές του παραλληλογράμμου είναι 4 και 6. Η οξεία γωνία μεταξύ των διαγωνίων είναι 45 ο. Βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου.

Λύση.

1. Από το τρίγωνο ΑΟΒ, χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου, γράφουμε τη σχέση μεταξύ της πλευράς του παραλληλογράμμου και των διαγωνίων.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Ομοίως γράφουμε τη σχέση για το τρίγωνο ΑΟΔ.

Το λαμβάνουμε υπόψη<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Παίρνουμε την εξίσωση d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Έχουμε σύστημα
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Αφαιρώντας την πρώτη από τη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε 2d 1 d 2 √2 = 80 ή

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Σημείωση:Σε αυτό και στο προηγούμενο πρόβλημα, δεν χρειάζεται να λυθεί πλήρως το σύστημα, προβλέποντας ότι σε αυτό το πρόβλημα χρειαζόμαστε το γινόμενο των διαγωνίων για να υπολογίσουμε το εμβαδόν.

Απάντηση: 10.

Εργασία 7.

Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι 96 και οι πλευρές του είναι 8 και 15. Βρείτε το τετράγωνο της μικρότερης διαγωνίου.

Λύση.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Ας κάνουμε μια αντικατάσταση στον τύπο.

Παίρνουμε 96 = 8 15 sin VAD. Ως εκ τούτου αμαρτία VAD = 4/5.

2. Βρείτε cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, βρίσκουμε το μήκος της μικρότερης διαγωνίου. Η διαγώνιος BD θα είναι μικρότερη εάν η γωνία BAD είναι οξεία. Τότε cos BAD = 3 / 5.

3. Από το τρίγωνο ΑΒΔ, χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου, βρίσκουμε το τετράγωνο της διαγωνίου ΒΔ.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Απάντηση: 145.

Έχετε ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε ένα πρόβλημα γεωμετρίας;
Για να λάβετε τη βοήθεια ενός δασκάλου - εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

Παραλληλόγραμμο - ένα γεωμετρικό σχήμα, που βρίσκεται συχνά στις εργασίες του μαθήματος γεωμετρίας (τμήμα επιπεδομετρίας). Τα βασικά χαρακτηριστικά αυτού του τετράπλευρου είναι η ισότητα των απέναντι γωνιών και η παρουσία δύο ζευγών παράλληλων απέναντι πλευρών. Ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράμμου είναι ένας ρόμβος, ένα ορθογώνιο, ένα τετράγωνο.

Ο υπολογισμός του εμβαδού αυτού του τύπου πολυγώνου μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους. Ας εξετάσουμε το καθένα από αυτά.

Βρείτε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου αν είναι γνωστά η πλευρά και το ύψος

Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις τιμές της πλευράς του, καθώς και το μήκος του ύψους που έχει χαμηλώσει πάνω του. Σε αυτή την περίπτωση, τα δεδομένα που λαμβάνονται θα είναι αξιόπιστα τόσο για την περίπτωση μιας γνωστής πλευράς - της βάσης του σχήματος, όσο και εάν έχετε την πλευρά του σχήματος στη διάθεσή σας. Σε αυτή την περίπτωση, η επιθυμητή τιμή θα ληφθεί από τον τύπο:

S = a * h(a) = b * h(b),

• S είναι η περιοχή που πρέπει να προσδιοριστεί,
• α, β - γνωστή (ή υπολογισμένη) πλευρά,
• h είναι το ύψος που έχει χαμηλώσει πάνω του.

Παράδειγμα: η τιμή της βάσης του παραλληλογράμμου είναι 7 cm, το μήκος της καθέτου που έπεσε πάνω του από την αντίθετη κορυφή είναι 3 cm.

Λύση: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.

Βρείτε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου αν είναι γνωστές 2 πλευρές και η μεταξύ τους γωνία

Εξετάστε την περίπτωση που γνωρίζετε το μέγεθος των δύο πλευρών του σχήματος, καθώς και το μέτρο της μοίρας της γωνίας που σχηματίζουν μεταξύ τους. Τα δεδομένα που παρέχονται μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση της περιοχής του παραλληλογράμμου. Σε αυτήν την περίπτωση, η έκφραση του τύπου θα μοιάζει με αυτό:

S = a * c * sinα = a * c * sinβ,

• κατά μέρος,
• c είναι μια γνωστή (ή υπολογισμένη) βάση,
• α, β είναι οι γωνίες μεταξύ των πλευρών α και γ.

Παράδειγμα: η βάση ενός παραλληλογράμμου είναι 10 cm, η πλευρά του είναι 4 cm μικρότερη. Η αμβλεία γωνία του σχήματος είναι 135°.

Λύση: προσδιορίστε την τιμή της δεύτερης πλευράς: 10 - 4 \u003d 6 cm.

S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.

Βρείτε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου αν είναι γνωστές οι διαγώνιοι και η μεταξύ τους γωνία

Η παρουσία γνωστών τιμών των διαγωνίων ενός δεδομένου πολυγώνου, καθώς και η γωνία που σχηματίζουν ως αποτέλεσμα της τομής τους, καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό της περιοχής του σχήματος.

S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinφ,

S είναι η περιοχή που πρέπει να προσδιοριστεί,
d1, d2 είναι γνωστές (ή υπολογισμένες) διαγώνιοι,
γ, φ είναι οι γωνίες μεταξύ των διαγωνίων d1 και d2.

Παραλληλόγραμμοείναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες.

Σε αυτό το σχήμα, οι απέναντι πλευρές και γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου τέμνονται σε ένα σημείο και το διχοτομούν. Οι τύποι περιοχής παραλληλογράμμου σάς επιτρέπουν να βρείτε την τιμή μέσω των πλευρών, του ύψους και των διαγωνίων. Το παραλληλόγραμμο μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί σε ειδικές περιπτώσεις. Θεωρούνται ορθογώνιο, τετράγωνο και ρόμβος.
Αρχικά, ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού ενός παραλληλογράμμου κατά ύψος και της πλευράς προς την οποία έχει χαμηλώσει.

Αυτή η περίπτωση θεωρείται κλασική και δεν απαιτεί περαιτέρω διερεύνηση. Είναι καλύτερα να εξετάσετε τον τύπο για τον υπολογισμό της επιφάνειας μεταξύ δύο πλευρών και τη γωνία μεταξύ τους. Η ίδια μέθοδος χρησιμοποιείται και στον υπολογισμό. Εάν δίνονται οι πλευρές και η μεταξύ τους γωνία, τότε το εμβαδόν υπολογίζεται ως εξής:

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται ένα παραλληλόγραμμο με πλευρές a = 4 cm, b = 6 cm. Η γωνία μεταξύ τους είναι α = 30°. Ας βρούμε την περιοχή:

Εμβαδόν παραλληλογράμμου ως προς τις διαγώνιες

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου ως προς τις διαγώνιες σας επιτρέπει να βρείτε γρήγορα την τιμή.
Για υπολογισμούς, χρειάζεστε την τιμή της γωνίας που βρίσκεται μεταξύ των διαγωνίων.

Εξετάστε ένα παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού ενός παραλληλογράμμου μέσω διαγωνίων. Έστω παραλληλόγραμμο με διαγώνιες D = 7 cm, d = 5 cm. Η μεταξύ τους γωνία είναι α = 30°. Αντικαταστήστε τα δεδομένα στον τύπο:

Ένα παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού ενός παραλληλογράμμου μέσω μιας διαγώνιας μας έδωσε ένα εξαιρετικό αποτέλεσμα - 8,75.

Γνωρίζοντας τον τύπο για την περιοχή ενός παραλληλογράμμου ως προς τη διαγώνιο, μπορείτε να λύσετε πολλά ενδιαφέροντα προβλήματα. Ας δούμε ένα από αυτά.

Μια εργασία:Δίνεται παραλληλόγραμμο εμβαδού 92 τ. βλ. Το σημείο ΣΤ βρίσκεται στο μέσο της πλευράς του π.Χ. Ας βρούμε την περιοχή του τραπεζοειδούς ADFB, που θα βρίσκεται στο παραλληλόγραμμό μας. Αρχικά, ας σχεδιάσουμε όλα όσα λάβαμε σύμφωνα με τις συνθήκες.
Πάμε στη λύση:

Σύμφωνα με τις συνθήκες μας, ah \u003d 92, και κατά συνέπεια, η περιοχή του τραπεζοειδούς μας θα είναι ίση με