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평행육면체의 정의. 기본 속성 및 공식. 평행 육면체 및 큐브. 비주얼 가이드(2019) 부피를 아는 평행육면체의 대각선 찾는 방법

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동시에, 모든 수준의 훈련을 받은 고등학생은 직육면체의 부피나 면적을 찾는 방법을 이해해야 합니다. 이 경우에만 수학 통합 주 시험 합격 결과를 바탕으로 경쟁 점수를 받을 수 있습니다.

기억해야 할 핵심 사항

  • 평행육면체를 구성하는 평행사변형은 면이고 측면은 모서리입니다. 이 그림의 꼭지점은 다면체 자체의 꼭지점으로 간주됩니다.
  • 직육면체의 대각선은 모두 같습니다. 이것은 직선형 다면체이므로 옆면은 직사각형이다.
  • 평행육면체는 밑면이 평행사변형인 프리즘이므로 이 그림은 프리즘의 모든 특성을 갖습니다.
  • 직육면체의 측면 모서리는 밑면에 수직입니다. 그러므로 그들은 그 높이입니다.

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이 수업에서는 모든 사람이 "직사각형 평행육면체"라는 주제를 공부할 수 있습니다. 수업 시작 부분에서 우리는 임의의 직선 육면체가 무엇인지 반복하고 평행 육면체의 반대면과 대각선의 속성을 기억할 것입니다. 그런 다음 직육면체가 무엇인지 살펴보고 기본 속성에 대해 논의하겠습니다.

주제: 선과 평면의 수직성

교훈: 직육면체

두 개의 동일한 평행사변형 ABCD 및 A 1 B 1 C 1 D 1과 4개의 평행사변형 ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1로 구성된 표면을 호출합니다. 평행 육면체의(그림 1).

쌀. 1 평행육면체

즉, 두 개의 동일한 평행사변형 ABCD와 A 1 B 1 C 1 D 1(베이스)이 있으며 측면 가장자리 AA 1, BB 1, DD 1, CC 1이 평행하도록 평행 평면에 놓입니다. 따라서 평행사변형으로 구성된 표면을 다음과 같이 부릅니다. 평행 육면체의.

따라서 평행육면체의 표면은 평행육면체를 구성하는 모든 평행사변형의 합입니다.

1. 평행육면체의 반대쪽 면은 평행하고 동일합니다.

(모양이 동일합니다. 즉, 겹쳐서 결합할 수 있습니다.)

예를 들어:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (정의에 따른 평행사변형),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C(AA 1 B 1 B와 DD 1 C 1 C는 평행육면체의 반대면이므로),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C(AA 1 D 1 D와 BB 1 C 1 C는 평행육면체의 반대면이므로).

2. 평행육면체의 대각선은 한 점에서 교차하고 이 점으로 이등분됩니다.

평행육면체 AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B의 대각선은 한 점 O에서 교차하고 각 대각선은 이 점에 의해 반으로 나뉩니다(그림 2).

쌀. 2 평행육면체의 대각선은 교차하며 교차점에 의해 반으로 나뉩니다.

3. 평행육면체의 모서리가 동일하고 평행한 4개의 사각형이 3개 있습니다.: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1.

정의. 평행육면체의 측면 가장자리가 밑면에 수직이면 직선이라고 합니다.

측면 가장자리 AA 1이 베이스에 수직이 되도록 합니다(그림 3). 이는 직선 AA 1이 밑면에 있는 직선 AD 및 AB에 수직임을 의미합니다. 이는 측면에 직사각형이 포함되어 있음을 의미합니다. 그리고 밑면에는 임의의 평행사변형이 포함되어 있습니다. ∠BAD = ψ라고 가정하면 각도 ψ는 무엇이든 될 수 있습니다.

쌀. 3 직육면체

따라서 직육면체는 측면 모서리가 평행육면체의 밑면에 수직인 평행육면체입니다.

정의. 평행육면체는 직육면체라고 부르는데,측면 모서리가 베이스에 수직인 경우. 밑면은 직사각형입니다.

평행 육면체 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1은 직사각형입니다 (그림 4).

1. AA 1 ⊥ ABCD (베이스 평면에 수직인 측면 모서리, 즉 직선 평행육면체).

2. ∠BAD = 90°, 즉 밑변이 직사각형입니다.

쌀. 4 직육면체

직육면체는 임의의 평행육면체의 모든 특성을 갖습니다.그러나 직육면체의 정의에서 파생되는 추가 속성이 있습니다.

그래서, 직육면체은 측면 모서리가 밑면에 수직인 평행육면체입니다. 직육면체의 밑면은 직사각형이다.

1. 직육면체에서는 여섯 개의 면이 모두 직사각형입니다.

ABCD와 A 1 B 1 C 1 D 1은 정의상 직사각형입니다.

2. 측면 리브는 베이스에 수직입니다.. 이는 직육면체의 모든 측면이 직사각형임을 의미합니다.

3. 직육면체의 모든 2면각은 옳습니다.

예를 들어 모서리 AB를 가진 직육면체의 2면각, 즉 평면 ABC 1과 ABC 사이의 2면각을 생각해 보겠습니다.

AB는 모서리이고, 점 A 1은 한 평면(ABB 1 평면)에 있고 점 D는 다른 평면(A 1 B 1 C 1 D 1)에 있습니다. 그러면 고려 중인 2면각은 다음과 같이 표시될 수도 있습니다: ∠A 1 ABD.

가장자리 AB의 점 A를 살펴보겠습니다. AA 1은 평면 АВВ-1의 모서리 AB에 수직이고, AD는 평면 ABC의 모서리 AB에 수직입니다. 이는 ∠A 1 AD가 주어진 2면각의 선형 각도임을 의미합니다. ∠A 1 AD = 90°, 이는 모서리 AB의 2면각이 90°임을 의미합니다.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

마찬가지로, 직육면체의 모든 2면각이 옳다는 것이 증명되었습니다.

직육면체의 대각선의 제곱은 세 차원의 제곱의 합과 같습니다.

메모. 직육면체의 한 꼭지점에서 나오는 세 모서리의 길이는 직육면체의 측정값입니다. 때로는 길이, 너비, 높이라고도 합니다.

주어진 : ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - 직육면체 (그림 5).

입증하다: .

쌀. 5 직육면체

증거:

직선 CC 1은 평면 ABC에 수직이므로 직선 AC에 수직입니다. 이는 삼각형 CC 1 A가 직각임을 의미합니다. 피타고라스의 정리에 따르면:

직각삼각형 ABC를 생각해 보세요. 피타고라스의 정리에 따르면:

그러나 BC와 AD는 직사각형의 반대편입니다. 그러니까 BC=AD. 그 다음에:

왜냐하면 , ㅏ , 저것. CC 1 = AA 1이므로 이것이 증명되어야 합니다.

직육면체의 대각선은 동일합니다.

평행육면체 ABC의 치수를 a, b, c(그림 6 참조)로 표시하면 AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

프리즘이라고 불리는 평행 육면체의, 밑변이 평행사변형인 경우. 센티미터. 그림 1.

평행육면체의 속성:

    평행육면체의 반대쪽 면은 평행하고(즉, 평행한 평면에 놓임) 동일합니다.

    평행육면체의 대각선은 한 점에서 교차하고 이 점으로 이등분됩니다.

평행육면체의 인접한 면– 공통 모서리를 갖는 두 면.

평행육면체의 반대면– 공통 모서리가 없는 면.

평행육면체의 반대 꼭지점– 동일한 면에 속하지 않는 두 개의 정점.

평행육면체의 대각선- 반대편 꼭지점을 연결하는 선분.

측면 가장자리가 밑면의 평면에 수직이면 평행 육면체를 호출합니다. 직접.

밑면이 직사각형인 직육면체라고 한다. 직사각형. 모든 면이 정사각형인 프리즘을 프리즘이라 한다. 입방체.

평행 육면체- 밑면이 평행사변형인 프리즘.

직육면체- 측면 모서리가 밑면에 수직인 평행 육면체.

직육면체는 밑면이 직사각형인 직육면체이다.

입방체- 모서리가 동일한 직육면체.

평행 육면체의밑면이 평행사변형인 프리즘이라고 합니다. 따라서 평행육면체는 6개의 면을 가지며 모두 평행사변형입니다.

반대면은 쌍으로 동일하고 평행합니다. 평행육면체에는 대각선이 4개 있습니다. 그들은 모두 한 지점에서 교차하고 그 지점에서 반으로 나뉩니다. 어떤 얼굴이라도 베이스로 사용할 수 있습니다. 부피는 바닥 면적과 높이의 곱과 같습니다. V = Sh.

네 개의 측면이 직사각형인 평행육면체를 직선 평행육면체라고 합니다.

6개의 면이 직사각형인 직육면체를 직사각형이라고 합니다. 센티미터. 그림 2.

직육면체의 부피(V)는 밑면적(S)과 높이(h)의 곱과 같습니다. V = 쉬 .

직육면체의 경우 추가로 공식은 다음과 같습니다. V=abc, 여기서 a, b, c는 모서리입니다.

직육면체의 대각선(d)은 다음 관계식에 의해 모서리와 관련됩니다. d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

직육면체- 옆면의 모서리가 밑면에 수직이고 밑면이 직사각형인 평행육면체.

직육면체의 특성:

    직육면체에서는 여섯 개의 면이 모두 직사각형입니다.

    직육면체의 모든 2면각은 옳습니다.

    직육면체의 대각선의 제곱은 세 차원(공통 꼭지점을 갖는 세 모서리의 길이)의 제곱의 합과 같습니다.

    직육면체의 대각선은 동일합니다.

모든 면이 정사각형인 직육면체를 정육면체라고 합니다. 큐브의 모든 모서리는 동일합니다. 입방체의 부피(V)는 다음 공식으로 표현됩니다. V=a3, 여기서 a는 큐브의 가장자리입니다.

정리. 모든 평행육면체에서 반대면은 동일하고 평행합니다.

따라서 면(그림) BB 1 C 1 C 및 AA 1 D 1 D는 ​​평행합니다. 왜냐하면 한 면의 두 교차선 BB 1 및 B 1 C 1이 두 교차 선 AA 1 및 A 1 D 1과 평행하기 때문입니다. 다른 하나. B 1 C 1 =A 1 D 1, B 1 B=A 1 A (평행사변형의 반대쪽) 및 ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1이므로 이 면들은 동일합니다.

정리. 모든 평행육면체에서는 네 개의 대각선이 모두 한 점에서 교차하고 이등분됩니다.

예를 들어 AC 1과 DB 1과 같은 평행 육면체의 두 대각선을 취하고 (그림) 직선 AB 1과 DC 1을 그립니다.


모서리 AD와 B 1 C 1은 각각 모서리 BC와 동일하고 평행하므로 서로 동일하고 평행합니다.

결과적으로, 그림 ADC 1 B 1 은 C 1 A 와 DB 1 이 대각선이고, 평행사변형에서는 대각선이 반으로 교차하는 평행사변형입니다.

이 증명은 대각선 두 개마다 반복될 수 있습니다.

따라서 대각선 AC 1은 BD 1과 절반으로 교차하고 대각선 BD 1은 A 1 C와 절반으로 교차합니다.

따라서 모든 대각선은 반으로 교차하므로 한 지점에서 교차합니다.

정리. 직육면체에서 대각선의 제곱은 세 차원의 제곱의 합과 같습니다.

(그림) AC 1을 직육면체의 대각선이라고 하자.


AC를 그리면 AC 1 C와 ACB라는 두 개의 삼각형이 생성됩니다. 둘 다 직사각형입니다.


첫 번째는 평행육면체가 직선이므로 모서리 CC 1이 밑면에 수직이기 때문입니다.

두 번째는 평행육면체가 직사각형이기 때문입니다. 이는 밑면에 직사각형이 있음을 의미합니다.

이 삼각형으로부터 우리는 다음을 발견합니다:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 및 AC 2 = AB 2 + BC 2


따라서 AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + CC 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

결과. 직육면체에서는 모든 대각선이 동일합니다..

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