Ορισμός ενός διανύσματος δράσης πάνω από διανύσματα. Διάνυσμα, πράξεις με διανύσματα, πρόσθεση και αφαίρεση. Δράσεις με διανύσματα. Συγγραμμικότητα διανυσμάτων

Διάνυσμα είναι ένα τμήμα που έχει κατεύθυνση. Το τέλος του διανύσματος συμπίπτει με το βέλος, η αρχή είναι η τελεία. Διανυσματικό μέτρο (απόλυτη τιμή)- το μήκος αυτού του κατευθυνόμενου τμήματος.

Αν η αρχή του διανύσματος συμπίπτει με το τέλος του, παίρνουμε μηδενικό διάνυσμα.

Τα δύο διανύσματα είναι ίσος, αν το μήκος τους είναι ίδιο και έχουν την ίδια κατεύθυνση. Συνδυάζονται κατά τη μεταφορά.

Η εικόνα δείχνει μόνο ένα διάνυσμα έναίσο με το διάνυσμα σι. Διάνυσμα ντοδεν είναι ίσο με αυτά, αφού κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση

Διάνυσμα -ντοείναι ένας φορέας ντο, αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση. Επειτα

Διάνυσμα προβολής

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα έχει θετική τιμή όταν η κατεύθυνση του διανύσματος συμπίπτει με την κατεύθυνση του άξονα. Μια αρνητική τιμή είναι η αντίθετη περίπτωση.

Ας προβάλουμε το διάνυσμα μετατόπισης στον άξονα Βόδικαι στον άξονα Oy. Για να ληφθεί μια προβολή, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τη συντεταγμένη της αρχής από τη συντεταγμένη του τέλους του διανύσματος. Στον άξονα OX: s x =x-x 0, στον άξονα OU: s y =y-y 0.

Ας δούμε παραδείγματα

Ειδικές περιπτώσεις όταν η προβολή στον άξονα Βόδιή Oyμηδέν.

Το άθροισμα των διανυσματικών συνιστωσών κατά μήκος των αξόνων είναι ίσο με το δεδομένο διάνυσμα, δηλ.

Διάνυσμα προσθήκη

Κανόνας παραλληλογράμμου:Η διαγώνιος ενός παραλληλογράμμου είναι το άθροισμα δύο διανυσμάτων με κοινή αρχή.

Κανόνας τριγώνου:από το τέλος του πρώτου διανύσματος, αφήστε στην άκρη το δεύτερο διάνυσμα, τότε το άθροισμά τους θα είναι ένα διάνυσμα, η αρχή του οποίου συμπίπτει με την αρχή του πρώτου διανύσματος και το τέλος με το τέλος του δεύτερου διανύσματος.

Ας δούμε τους κανόνες χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Αφαίρεση διάνυσμα

Η αφαίρεση του διανύσματος είναι το άθροισμα ενός θετικού και ενός αρνητικού διανύσματος.

Σε αυτό το άρθρο, θα αρχίσουμε να συζητάμε ένα «μαγικό ραβδί» που θα σας επιτρέψει να μειώσετε πολλά προβλήματα γεωμετρίας σε απλή αριθμητική. Αυτό το «ραβδί» μπορεί να κάνει τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη, ειδικά όταν αισθάνεστε αβέβαιοι για την κατασκευή χωρικών μορφών, τμημάτων κ.λπ. Όλα αυτά απαιτούν μια συγκεκριμένη φαντασία και πρακτικές δεξιότητες. Η μέθοδος που θα αρχίσουμε να εξετάζουμε εδώ θα σας επιτρέψει να αφαιρέσετε σχεδόν πλήρως από όλα τα είδη γεωμετρικών κατασκευών και συλλογισμών. Η μέθοδος ονομάζεται "μέθοδος συντονισμού". Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε τις ακόλουθες ερωτήσεις:

1. Συντεταγμένο επίπεδο
2. Σημεία και διανύσματα στο επίπεδο
3. Κατασκευάζοντας ένα διάνυσμα από δύο σημεία
4. Μήκος διανύσματος (απόσταση μεταξύ δύο σημείων).
5. Συντεταγμένες του μέσου τμήματος
6. Σημείο γινόμενο διανυσμάτων
7. Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων

Νομίζω ότι έχετε ήδη μαντέψει γιατί ονομάζεται έτσι η μέθοδος συντεταγμένων; Σωστά, πήρε αυτό το όνομα γιατί δεν λειτουργεί με γεωμετρικά αντικείμενα, αλλά με τα αριθμητικά τους χαρακτηριστικά (συντεταγμένες). Και ο ίδιος ο μετασχηματισμός, που μας επιτρέπει να περάσουμε από τη γεωμετρία στην άλγεβρα, συνίσταται στην εισαγωγή ενός συστήματος συντεταγμένων. Αν το αρχικό σχήμα ήταν επίπεδο, τότε οι συντεταγμένες είναι δισδιάστατες και αν το σχήμα είναι τρισδιάστατο, τότε οι συντεταγμένες είναι τρισδιάστατες. Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε μόνο τη δισδιάστατη περίπτωση. Και ο κύριος στόχος του άρθρου είναι να σας διδάξει πώς να χρησιμοποιείτε ορισμένες βασικές τεχνικές της μεθόδου συντεταγμένων (μερικές φορές αποδεικνύονται χρήσιμες κατά την επίλυση προβλημάτων επιπεδομετρίας στο Μέρος Β της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης). Οι επόμενες δύο ενότητες σχετικά με αυτό το θέμα είναι αφιερωμένες σε μια συζήτηση μεθόδων για την επίλυση προβλημάτων C2 (το πρόβλημα της στερεομετρίας).

Πού θα ήταν λογικό να αρχίσουμε να συζητάμε για τη μέθοδο συντεταγμένων; Πιθανώς από την έννοια του συστήματος συντεταγμένων. Θυμηθείτε πότε την πρωτοσυναντήσατε. Μου φαίνεται ότι στην 7η δημοτικού, όταν έμαθες για την ύπαρξη μιας γραμμικής συνάρτησης, για παράδειγμα. Να σου θυμίσω ότι το έφτιαξες σημείο προς σημείο. Θυμάσαι? Διαλέξατε έναν αυθαίρετο αριθμό, τον αντικαταστήσατε στον τύπο και τον υπολογίσατε με αυτόν τον τρόπο. Για παράδειγμα, αν, τότε, αν, τότε κλπ. Τι πήρατε τελικά; Και λάβατε πόντους με συντεταγμένες: και. Στη συνέχεια, σχεδιάσατε έναν «σταυρό» (σύστημα συντεταγμένων), επιλέξατε μια κλίμακα πάνω του (πόσα κελιά θα έχετε ως τμήμα μονάδας) και σημειώσατε τα σημεία που αποκτήσατε πάνω του, τα οποία στη συνέχεια συνδέσατε με μια ευθεία γραμμή. γραμμή είναι το γράφημα της συνάρτησης.

Υπάρχουν μερικά σημεία εδώ που πρέπει να σας εξηγήσουμε λίγο πιο αναλυτικά:

1. Επιλέγετε ένα μόνο τμήμα για λόγους ευκολίας, ώστε όλα να ταιριάζουν όμορφα και συμπαγή στο σχέδιο.

2. Είναι αποδεκτό ότι ο άξονας πηγαίνει από αριστερά προς τα δεξιά και ο άξονας πηγαίνει από κάτω προς τα πάνω

3. Τέμνονται κάθετα, και το σημείο τομής τους ονομάζεται αρχή. Υποδεικνύεται με ένα γράμμα.

4. Κατά τη γραφή των συντεταγμένων ενός σημείου, για παράδειγμα, στα αριστερά στην παρένθεση υπάρχει η συντεταγμένη του σημείου κατά μήκος του άξονα, και στα δεξιά, κατά μήκος του άξονα. Συγκεκριμένα, σημαίνει απλώς ότι στο σημείο

5. Για να καθορίσετε οποιοδήποτε σημείο στον άξονα συντεταγμένων, πρέπει να υποδείξετε τις συντεταγμένες του (2 αριθμοί)

6. Για οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στον άξονα,

7. Για οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στον άξονα,

8. Ο άξονας ονομάζεται άξονας x

9. Ο άξονας ονομάζεται άξονας y

Τώρα ας κάνουμε το επόμενο βήμα: σημειώστε δύο σημεία. Ας συνδέσουμε αυτά τα δύο σημεία με ένα τμήμα. Και θα βάλουμε το βέλος σαν να σχεδιάζαμε ένα τμήμα από σημείο σε σημείο: δηλαδή, θα κάνουμε το τμήμα μας κατευθυνόμενο!

Θυμάστε τι ονομάζεται ένα άλλο κατευθυντικό τμήμα; Σωστά, λέγεται διάνυσμα!

Έτσι, αν συνδέσουμε τελεία με τελεία, και η αρχή θα είναι το σημείο Α και το τέλος το σημείο Β,τότε παίρνουμε ένα διάνυσμα. Έκανες και αυτή την κατασκευή στην 8η δημοτικού, θυμάσαι;

Αποδεικνύεται ότι τα διανύσματα, όπως και τα σημεία, μπορούν να συμβολίζονται με δύο αριθμούς: αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται διανυσματικές συντεταγμένες. Ερώτηση: Πιστεύετε ότι αρκεί να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της αρχής και του τέλους ενός διανύσματος για να βρούμε τις συντεταγμένες του; Αποδεικνύεται ότι ναι! Και αυτό γίνεται πολύ απλά:

Έτσι, εφόσον σε ένα διάνυσμα το σημείο είναι η αρχή και το σημείο είναι το τέλος, το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Για παράδειγμα, εάν, τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος

Τώρα ας κάνουμε το αντίθετο, βρούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος. Τι πρέπει να αλλάξουμε για αυτό; Ναι, πρέπει να ανταλλάξετε την αρχή και το τέλος: τώρα η αρχή του διανύσματος θα είναι στο σημείο και το τέλος θα είναι στο σημείο. Επειτα:

Κοιτάξτε προσεκτικά, ποια είναι η διαφορά μεταξύ διανυσμάτων και; Η μόνη διαφορά τους είναι τα σημάδια στις συντεταγμένες. Είναι αντίθετα. Αυτό το γεγονός συνήθως γράφεται ως εξής:

Μερικές φορές, αν δεν δηλώνεται συγκεκριμένα ποιο σημείο είναι η αρχή του διανύσματος και ποιο το τέλος, τότε τα διανύσματα συμβολίζονται όχι με δύο κεφαλαία γράμματα, αλλά με ένα πεζό, για παράδειγμα: , κ.λπ.

Τώρα λίγο πρακτικήτον εαυτό σας και βρείτε τις συντεταγμένες των παρακάτω διανυσμάτων:

Εξέταση:

Λύστε τώρα ένα λίγο πιο δύσκολο πρόβλημα:

Ένα διάνυσμα με αρχή σε ένα σημείο έχει ένα co-or-di-na-you. Βρείτε τα σημεία abs-cis-su.

Όλα τα ίδια είναι αρκετά πεζά: Έστω οι συντεταγμένες του σημείου. Επειτα

Συνέταξα το σύστημα με βάση τον ορισμό του τι είναι οι διανυσματικές συντεταγμένες. Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες. Μας ενδιαφέρει η τετμημένη. Επειτα

Απάντηση:

Τι άλλο μπορείτε να κάνετε με τα διανύσματα; Ναι, σχεδόν όλα είναι ίδια με τους συνηθισμένους αριθμούς (εκτός από το ότι δεν μπορείτε να διαιρέσετε, αλλά μπορείτε να πολλαπλασιάσετε με δύο τρόπους, έναν από τους οποίους θα συζητήσουμε εδώ λίγο αργότερα)

1. Τα διανύσματα μπορούν να προστεθούν μεταξύ τους
2. Τα διανύσματα μπορούν να αφαιρεθούν το ένα από το άλλο
3. Τα διανύσματα μπορούν να πολλαπλασιαστούν (ή να διαιρεθούν) με έναν αυθαίρετο μη μηδενικό αριθμό
4. Τα διανύσματα μπορούν να πολλαπλασιαστούν το ένα με το άλλο

Όλες αυτές οι πράξεις έχουν μια πολύ σαφή γεωμετρική αναπαράσταση. Για παράδειγμα, ο κανόνας του τριγώνου (ή παραλληλόγραμμου) για πρόσθεση και αφαίρεση:

Ένα διάνυσμα τεντώνεται ή συστέλλεται ή αλλάζει κατεύθυνση όταν πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται με έναν αριθμό:

Ωστόσο, εδώ θα μας ενδιαφέρει το ερώτημα τι συμβαίνει με τις συντεταγμένες.

1. Όταν προσθέτουμε (αφαιρούμε) δύο διανύσματα, προσθέτουμε (αφαιρούμε) τις συντεταγμένες τους στοιχείο προς στοιχείο. Αυτό είναι:

2. Κατά τον πολλαπλασιασμό (διαίρεση) ενός διανύσματος με έναν αριθμό, όλες οι συντεταγμένες του πολλαπλασιάζονται (διαιρούνται) με αυτόν τον αριθμό:

Για παράδειγμα:

· Βρείτε την ποσότητα του co-or-di-nat αιώνα-to-ra.

Ας βρούμε πρώτα τις συντεταγμένες καθενός από τα διανύσματα. Και οι δύο έχουν την ίδια προέλευση - το σημείο προέλευσης. Τα άκρα τους είναι διαφορετικά. Επειτα, . Τώρα ας υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος Τότε το άθροισμα των συντεταγμένων του διανύσματος που προκύπτει είναι ίσο.

Απάντηση:

Τώρα λύστε μόνοι σας το εξής πρόβλημα:

· Να βρείτε το άθροισμα των διανυσματικών συντεταγμένων

Ελέγχουμε:

Ας εξετάσουμε τώρα το εξής πρόβλημα: έχουμε δύο σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων. Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ τους; Ας είναι το πρώτο σημείο και το δεύτερο. Ας υποδηλώσουμε την απόσταση μεταξύ τους με. Ας κάνουμε το ακόλουθο σχέδιο για λόγους σαφήνειας:

Τι έκανα? Πρώτα, συνέδεσα τα σημεία και, επίσης, από το σημείο που τράβηξα μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα και από το σημείο που τράβηξα μια γραμμή παράλληλη προς τον άξονα. Τέμνονται σε ένα σημείο, σχηματίζοντας μια αξιοσημείωτη φιγούρα; Τι το ιδιαίτερο έχει; Ναι, εσύ κι εγώ γνωρίζουμε σχεδόν τα πάντα για το ορθογώνιο τρίγωνο. Λοιπόν, το Πυθαγόρειο θεώρημα σίγουρα. Το απαιτούμενο τμήμα είναι η υποτείνουσα αυτού του τριγώνου και τα τμήματα είναι τα σκέλη. Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου; Ναι, είναι εύκολο να βρεθούν από την εικόνα: Δεδομένου ότι τα τμήματα είναι παράλληλα με τους άξονες και, αντίστοιχα, τα μήκη τους είναι εύκολο να βρεθούν: αν υποδηλώσουμε τα μήκη των τμημάτων με, αντίστοιχα, τότε

Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Γνωρίζουμε τα μήκη των ποδιών, θα βρούμε την υποτείνουσα:

Έτσι, η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι η ρίζα του αθροίσματος των τετραγωνικών διαφορών από τις συντεταγμένες. Ή - η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι το μήκος του τμήματος που τα συνδέει. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι η απόσταση μεταξύ των σημείων δεν εξαρτάται από την κατεύθυνση. Επειτα:

Από εδώ βγάζουμε τρία συμπεράσματα:

Ας εξασκηθούμε λίγο στον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ δύο σημείων:

Για παράδειγμα, εάν, τότε η απόσταση μεταξύ και είναι ίση με

Ή ας πάμε αλλιώς: βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

Και βρείτε το μήκος του διανύσματος:

Όπως μπορείτε να δείτε, είναι το ίδιο πράγμα!

Τώρα εξασκηθείτε λίγο μόνοι σας:

Εργασία: βρείτε την απόσταση μεταξύ των υποδεικνυόμενων σημείων:

Ελέγχουμε:

Ακολουθούν μερικά ακόμη προβλήματα που χρησιμοποιούν τον ίδιο τύπο, αν και ακούγονται λίγο διαφορετικά:

1. Βρείτε το τετράγωνο του μήκους του βλεφάρου.

2. Βρείτε το τετράγωνο του μήκους του βλεφάρου

Νομίζω ότι τα αντιμετώπισες χωρίς δυσκολία; Ελέγχουμε:

1. Και αυτό για προσοχή) Έχουμε ήδη βρει τις συντεταγμένες των διανυσμάτων νωρίτερα: . Τότε το διάνυσμα έχει συντεταγμένες. Το τετράγωνο του μήκους του θα είναι ίσο με:

2. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

Τότε το τετράγωνο του μήκους του είναι

Τίποτα περίπλοκο, σωστά; Απλή αριθμητική, τίποτα παραπάνω.

Τα ακόλουθα προβλήματα δεν μπορούν να ταξινομηθούν με σαφήνεια· αφορούν περισσότερο τη γενική ευρυμάθεια και την ικανότητα σχεδίασης απλών εικόνων.

1. Βρείτε το ημίτονο της γωνίας από την τομή, συνδέοντας το σημείο, με τον άξονα της τετμημένης.

Και

Πώς θα προχωρήσουμε εδώ; Πρέπει να βρούμε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ και του άξονα. Πού μπορούμε να ψάξουμε για ημιτονοειδή; Σωστά, σε ορθογώνιο τρίγωνο. Τι πρέπει να κάνουμε λοιπόν; Φτιάξτε αυτό το τρίγωνο!

Αφού οι συντεταγμένες του σημείου είναι και, τότε το τμήμα είναι ίσο με, και το τμήμα. Πρέπει να βρούμε το ημίτονο της γωνίας. Να σας υπενθυμίσω ότι το ημίτονο είναι η αναλογία της αντίθετης πλευράς προς την υποτείνουσα, λοιπόν

Τι μας μένει να κάνουμε; Βρείτε την υποτείνουσα. Μπορείτε να το κάνετε αυτό με δύο τρόπους: χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα (τα σκέλη είναι γνωστά!) ή χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων (στην πραγματικότητα, το ίδιο με την πρώτη μέθοδο!). Θα πάω στον δεύτερο δρόμο:

Απάντηση:

Η επόμενη εργασία θα σας φανεί ακόμα πιο εύκολη. Είναι στις συντεταγμένες του σημείου.

Εργασία 2.Από το σημείο που το per-pen-di-ku-lyar χαμηλώνει στον άξονα ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Η βάση μιας κάθετης είναι το σημείο στο οποίο τέμνει τον άξονα x (άξονας), για μένα αυτό είναι ένα σημείο. Το σχήμα δείχνει ότι έχει συντεταγμένες: . Μας ενδιαφέρει η τετμημένη - δηλαδή η συνιστώσα "x". Είναι ίση.

Απάντηση: .

Εργασία 3.Στις συνθήκες του προηγούμενου προβλήματος να βρείτε το άθροισμα των αποστάσεων από το σημείο έως τους άξονες συντεταγμένων.

Η εργασία είναι γενικά στοιχειώδης εάν γνωρίζετε ποια είναι η απόσταση από ένα σημείο στους άξονες. Ξέρεις? Ελπίζω, αλλά και πάλι σας υπενθυμίζω:

Λοιπόν, στο σχέδιό μου ακριβώς από πάνω, έχω ήδη σχεδιάσει μια τέτοια κάθετη; Σε ποιον άξονα βρίσκεται; Προς τον άξονα. Και ποιο είναι το μήκος του τότε; Είναι ίση. Τώρα σχεδιάστε μόνοι σας μια κάθετη στον άξονα και βρείτε το μήκος της. Θα είναι ίσο, σωστά; Τότε το άθροισμά τους είναι ίσο.

Απάντηση: .

Εργασία 4.Στις συνθήκες της εργασίας 2, να βρείτε τη τεταγμένη ενός σημείου συμμετρικού προς το σημείο σε σχέση με τον άξονα της τετμημένης.

Νομίζω ότι είναι διαισθητικά σαφές για εσάς τι είναι η συμμετρία; Πολλά αντικείμενα το έχουν: πολλά κτίρια, τραπέζια, αεροπλάνα, πολλά γεωμετρικά σχήματα: μπάλα, κύλινδρος, τετράγωνο, ρόμβος κ.λπ. Σε γενικές γραμμές, η συμμετρία μπορεί να γίνει κατανοητή ως εξής: μια φιγούρα αποτελείται από δύο (ή περισσότερα) ίδια μισά. Αυτή η συμμετρία ονομάζεται αξονική συμμετρία. Τι είναι λοιπόν ένας άξονας; Αυτή είναι ακριβώς η γραμμή κατά μήκος της οποίας το σχήμα μπορεί, σχετικά μιλώντας, να «κοπεί» σε ίσα μισά (σε αυτήν την εικόνα ο άξονας συμμετρίας είναι ευθύς):

Τώρα ας επιστρέψουμε στο έργο μας. Γνωρίζουμε ότι αναζητούμε ένα σημείο που να είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα. Τότε αυτός ο άξονας είναι ο άξονας συμμετρίας. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να σημειώσουμε ένα σημείο έτσι ώστε ο άξονας να κόβει το τμήμα σε δύο ίσα μέρη. Προσπαθήστε να σημειώσετε μόνοι σας ένα τέτοιο σημείο. Συγκρίνετε τώρα με τη λύση μου:

Σου λειτούργησε με τον ίδιο τρόπο; Πρόστιμο! Μας ενδιαφέρει η τεταγμένη του σημείου που βρέθηκε. Είναι ίσο

Απάντηση:

Τώρα πείτε μου, αφού σκεφτώ για λίγα δευτερόλεπτα, ποια θα είναι η τετμημένη ενός σημείου συμμετρικού προς το σημείο Α σε σχέση με την τεταγμένη; Ποιά είναι η απάντηση σου? Σωστή απάντηση: .

Γενικά, ο κανόνας μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Ένα σημείο συμμετρικό προς ένα σημείο σε σχέση με τον άξονα της τετμημένης έχει τις συντεταγμένες:

Ένα σημείο συμμετρικό σε ένα σημείο σε σχέση με τον άξονα τεταγμένων έχει συντεταγμένες:

Λοιπόν, τώρα είναι εντελώς τρομακτικό έργο: να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου συμμετρικού προς το σημείο που σχετίζεται με την αρχή. Πρώτα σκέφτεσαι μόνος σου και μετά κοιτάς το σχέδιό μου!

Απάντηση:

Τώρα πρόβλημα παραλληλογράμμου:

Εργασία 5: Τα σημεία εμφανίζονται ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Βρείτε ή-δι-σε-αυτό το σημείο.

Μπορείτε να λύσετε αυτό το πρόβλημα με δύο τρόπους: τη λογική και τη μέθοδο συντεταγμένων. Θα χρησιμοποιήσω πρώτα τη μέθοδο συντεταγμένων και μετά θα σας πω πώς μπορείτε να το λύσετε διαφορετικά.

Είναι απολύτως σαφές ότι η τετμημένη του σημείου είναι ίση. (βρίσκεται στην κάθετο που σύρεται από το σημείο προς τον άξονα της τετμημένης). Πρέπει να βρούμε τη τεταγμένη. Ας εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι το σχήμα μας είναι παραλληλόγραμμο, αυτό σημαίνει ότι. Ας βρούμε το μήκος του τμήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων:

Χαμηλώνουμε την κάθετη που συνδέει το σημείο με τον άξονα. Θα δηλώσω το σημείο τομής με ένα γράμμα.

Το μήκος του τμήματος είναι ίσο. (βρείτε μόνοι σας το πρόβλημα εκεί που συζητήσαμε αυτό το σημείο), τότε θα βρούμε το μήκος του τμήματος χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Το μήκος ενός τμήματος συμπίπτει ακριβώς με την τεταγμένη του.

Απάντηση: .

Άλλη λύση (θα δώσω απλώς μια εικόνα που το δείχνει)

Πρόοδος λύσης:

1. Διεξαγωγή

2. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου και του μήκους

3. Αποδείξτε ότι.

Αλλο ένα πρόβλημα μήκους τμήματος:

Τα σημεία εμφανίζονται στην κορυφή του τριγώνου. Βρείτε το μήκος της μέσης γραμμής του, παράλληλο.

Θυμάστε ποια είναι η μέση γραμμή ενός τριγώνου; Τότε αυτή η εργασία είναι στοιχειώδης για εσάς. Αν δεν θυμάστε, θα σας υπενθυμίσω: η μέση γραμμή ενός τριγώνου είναι η γραμμή που συνδέει τα μέσα των απέναντι πλευρών. Είναι παράλληλη με τη βάση και ίση με το μισό της.

Η βάση είναι ένα τμήμα. Έπρεπε να ψάξουμε νωρίτερα το μήκος του, είναι ίσο. Τότε το μήκος της μεσαίας γραμμής είναι το μισό μεγαλύτερο και ίσο.

Απάντηση: .

Σχόλιο: αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με άλλο τρόπο, στον οποίο θα αναφερθούμε λίγο αργότερα.

Εν τω μεταξύ, εδώ είναι μερικά προβλήματα για εσάς, εξασκηθείτε σε αυτά, είναι πολύ απλά, αλλά σας βοηθούν να γίνετε καλύτεροι στη χρήση της μεθόδου συντεταγμένων!

1. Οι πόντοι είναι η κορυφή των παραστάσεων. Βρείτε το μήκος της μέσης γραμμής του.

2. Σημεία και εμφανίσεις ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Βρείτε ή-δι-σε-αυτό το σημείο.

3. Βρείτε το μήκος από το κόψιμο, συνδέοντας το σημείο και

4. Βρείτε την περιοχή πίσω από την έγχρωμη φιγούρα στο επίπεδο συντεταγμένων.

5. Από το σημείο διέρχεται κύκλος με κέντρο σε na-cha-le ko-or-di-nat. Βρείτε το ra-di-us της.

6. Βρε-δι-τε ρα-δι-ους του κυκλου, περιγραψε-σαν-νοου για την ορθογωνια-νο-κα, οι κορυφες κατι εχουν συν-ή -δι-να-εισαι τοσο-υπευθυνος.

Λύσεις:

1. Είναι γνωστό ότι η μέση γραμμή ενός τραπεζοειδούς είναι ίση με το μισό του αθροίσματος των βάσεων του. Η βάση είναι ίση, και η βάση. Επειτα

Απάντηση:

2. Ο ευκολότερος τρόπος για να λύσετε αυτό το πρόβλημα είναι να σημειώσετε ότι (κανόνας παραλληλογράμμου). Ο υπολογισμός των συντεταγμένων των διανυσμάτων δεν είναι δύσκολος: . Κατά την προσθήκη διανυσμάτων, προστίθενται οι συντεταγμένες. Μετά έχει συντεταγμένες. Το σημείο έχει και αυτές τις συντεταγμένες, αφού η αρχή του διανύσματος είναι το σημείο με τις συντεταγμένες. Μας ενδιαφέρει η τεταγμένη. Είναι ίση.

Απάντηση:

3. Ενεργούμε αμέσως σύμφωνα με τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων:

Απάντηση:

4. Κοιτάξτε την εικόνα και πείτε μου σε ποιες δύο φιγούρες βρίσκεται η σκιασμένη περιοχή ανάμεσα σε "σάντουιτς"; Είναι στριμωγμένο ανάμεσα σε δύο τετράγωνα. Τότε το εμβαδόν του επιθυμητού σχήματος είναι ίσο με το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου μείον το εμβαδόν του μικρού. Η πλευρά ενός μικρού τετραγώνου είναι ένα τμήμα που συνδέει τα σημεία και το μήκος του είναι

Τότε η περιοχή της μικρής πλατείας είναι

Κάνουμε το ίδιο με ένα μεγάλο τετράγωνο: η πλευρά του είναι ένα τμήμα που συνδέει τα σημεία και το μήκος του είναι

Τότε το εμβαδόν της μεγάλης πλατείας είναι

Βρίσκουμε την περιοχή του επιθυμητού σχήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Απάντηση:

5. Αν ένας κύκλος έχει την αρχή ως κέντρο του και διέρχεται από ένα σημείο, τότε η ακτίνα του θα είναι ακριβώς ίση με το μήκος του τμήματος (κάντε ένα σχέδιο και θα καταλάβετε γιατί αυτό είναι προφανές). Ας βρούμε το μήκος αυτού του τμήματος:

Απάντηση:

6. Είναι γνωστό ότι η ακτίνα ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ορθογώνιο είναι ίση με το ήμισυ της διαγώνιός του. Ας βρούμε το μήκος οποιασδήποτε από τις δύο διαγωνίους (άλλωστε σε ένα ορθογώνιο είναι ίσες!)

Απάντηση:

Λοιπόν, τα κατάφερες με όλα; Δεν ήταν πολύ δύσκολο να το καταλάβω, σωστά; Υπάρχει μόνο ένας κανόνας εδώ - μπορείτε να δημιουργήσετε μια οπτική εικόνα και απλά να "διαβάσετε" όλα τα δεδομένα από αυτήν.

Μας μένουν πολύ λίγα. Υπάρχουν κυριολεκτικά δύο ακόμη σημεία που θα ήθελα να συζητήσω.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτό το απλό πρόβλημα. Αφήστε δύο βαθμούς και δίνονται. Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος. Η λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι η εξής: αφήστε το σημείο να είναι το επιθυμητό μέσο, ​​τότε έχει συντεταγμένες:

Αυτό είναι: συντεταγμένες του μέσου του τμήματος = ο αριθμητικός μέσος όρος των αντίστοιχων συντεταγμένων των άκρων του τμήματος.

Αυτός ο κανόνας είναι πολύ απλός και συνήθως δεν προκαλεί δυσκολίες στους μαθητές. Ας δούμε σε ποια προβλήματα και πώς χρησιμοποιείται:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point και

2. Οι πόντοι φαίνεται να είναι η κορυφή του κόσμου. Find-di-te or-di-na-tu points per-re-se-che-niya του dia-go-na-ley του.

3. Find-di-te abs-cis-su κέντρο του κύκλου, περιγράψτε-san-noy σχετικά με το ορθογώνιο-no-ka, οι κορυφές του κάτι έχουν co-or-di-na-you τόσο-υπεύθυνα-αλλά.

Λύσεις:

1. Το πρώτο πρόβλημα είναι απλά ένα κλασικό. Προχωράμε αμέσως στον προσδιορισμό της μέσης του τμήματος. Έχει συντεταγμένες. Η τεταγμένη είναι ίση.

Απάντηση:

2. Είναι εύκολο να δούμε ότι αυτό το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο (ακόμα και ρόμβος!). Μπορείτε να το αποδείξετε μόνοι σας υπολογίζοντας τα μήκη των πλευρών και συγκρίνοντάς τα μεταξύ τους. Τι γνωρίζω για τα παραλληλόγραμμα; Οι διαγώνιοι του χωρίζονται στο μισό με το σημείο τομής! Ναι! Ποιο είναι λοιπόν το σημείο τομής των διαγωνίων; Αυτή είναι η μέση οποιασδήποτε από τις διαγωνίους! Θα επιλέξω, συγκεκριμένα, τη διαγώνιο. Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες Η τεταγμένη του σημείου είναι ίση με.

Απάντηση:

3. Με τι συμπίπτει το κέντρο του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το ορθογώνιο; Συμπίπτει με το σημείο τομής των διαγωνίων του. Τι γνωρίζετε για τις διαγώνιες ενός ορθογωνίου; Είναι ίσα και το σημείο τομής τους χωρίζει στο μισό. Το έργο περιορίστηκε στο προηγούμενο. Ας πάρουμε, για παράδειγμα, τη διαγώνιο. Τότε αν είναι το κέντρο του κύκλου, τότε είναι το μέσο. Ψάχνω για συντεταγμένες: Το τετμημένο είναι ίσο.

Απάντηση:

Τώρα εξασκηθείτε λίγο μόνοι σας, θα δώσω απλώς τις απαντήσεις σε κάθε πρόβλημα, ώστε να μπορείτε να δοκιμάσετε τον εαυτό σας.

1. Βρείτε-δι-τε ρα-δι-ους του κύκλου, περιγράψτε-σαν-νόι για το τρίγωνο-νο-κα, οι κορυφές του κάτι έχουν ένα συν-ορ-ντι -όχι κυρίους

2. Βρείτε-di-te ή-di-on-αυτό το κέντρο του κύκλου, περιγράψτε-san-noy σχετικά με το τρίγωνο-no-ka, οι κορυφές του οποίου έχουν συντεταγμένες

3. Τι είδους ra-di-u-sa πρέπει να υπάρχει ένας κύκλος με κέντρο σε σημείο ώστε να εφάπτεται στον άξονα ab-ciss;

4. Βρείτε-δι-αυτά ή-δι-εκείνο το σημείο επανατοποθέτησης του άξονα και από-κοπή, συνδέστε-το-σημείο και

Απαντήσεις:

Ήταν όλα επιτυχημένα; Το ελπίζω πραγματικά! Τώρα - η τελευταία ώθηση. Τώρα να είστε ιδιαίτερα προσεκτικοί. Το υλικό που θα εξηγήσω τώρα σχετίζεται άμεσα όχι μόνο με απλά προβλήματα στη μέθοδο συντεταγμένων από το Μέρος Β, αλλά βρίσκεται επίσης παντού στο Πρόβλημα Γ2.

Ποια από τις υποσχέσεις μου δεν έχω τηρήσει ακόμα; Θυμάστε ποιες πράξεις σε διανύσματα υποσχέθηκα να εισαγάγω και ποιες τελικά εισήγαγα; Είσαι σίγουρος ότι δεν ξέχασα τίποτα; Ξεχάσατε! Ξέχασα να εξηγήσω τι σημαίνει διανυσματικός πολλαπλασιασμός.

Υπάρχουν δύο τρόποι για να πολλαπλασιάσουμε ένα διάνυσμα με ένα διάνυσμα. Ανάλογα με την επιλεγμένη μέθοδο, θα λάβουμε αντικείμενα διαφορετικής φύσης:

Το cross product γίνεται αρκετά έξυπνα. Θα συζητήσουμε πώς να το κάνουμε και γιατί χρειάζεται στο επόμενο άρθρο. Και σε αυτό θα επικεντρωθούμε στο βαθμωτό προϊόν.

Υπάρχουν δύο τρόποι που μας επιτρέπουν να το υπολογίσουμε:

Όπως μαντέψατε, το αποτέλεσμα πρέπει να είναι το ίδιο! Ας δούμε λοιπόν πρώτα την πρώτη μέθοδο:

Το προϊόν με τελείες μέσω συντεταγμένων

Βρείτε: - γενικά αποδεκτή σημείωση για βαθμωτό προϊόν

Ο τύπος για τον υπολογισμό έχει ως εξής:

Δηλαδή το κλιμακωτό γινόμενο = το άθροισμα των γινομένων των διανυσματικών συντεταγμένων!

Παράδειγμα:

Find-di-te

Λύση:

Ας βρούμε τις συντεταγμένες καθενός από τα διανύσματα:

Υπολογίζουμε το βαθμωτό γινόμενο χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Απάντηση:

Βλέπετε, απολύτως τίποτα περίπλοκο!

Λοιπόν, τώρα δοκιμάστε το μόνοι σας:

· Βρείτε ένα βαθμωτό pro-iz-ve-de-nie αιώνων και

Κατάφερες? Ίσως παρατηρήσατε ένα μικρό αλιεύμα; Ας ελέγξουμε:

Διανυσματικές συντεταγμένες, όπως και στο προηγούμενο πρόβλημα! Απάντηση: .

Εκτός από τη συντεταγμένη, υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να υπολογιστεί το βαθμωτό γινόμενο, δηλαδή, μέσω των μηκών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:

Δηλώνει τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και.

Δηλαδή, το βαθμωτό γινόμενο είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας.

Γιατί χρειαζόμαστε αυτόν τον δεύτερο τύπο, αν έχουμε τον πρώτο, ο οποίος είναι πολύ πιο απλός, τουλάχιστον δεν υπάρχουν συνημίτονα σε αυτόν. Και είναι απαραίτητο για να μπορούμε από τον πρώτο και τον δεύτερο τύπο να συμπεράνουμε εγώ και εσύ πώς να βρίσκουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων!

Αφήστε Τότε θυμηθείτε τον τύπο για το μήκος του διανύσματος!

Στη συνέχεια, αν αντικαταστήσω αυτά τα δεδομένα στον τύπο του βαθμωτού προϊόντος, λαμβάνω:

Αλλά με άλλο τρόπο:

Τι πήραμε λοιπόν εσύ και εγώ; Τώρα έχουμε έναν τύπο που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τη γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων! Μερικές φορές γράφεται και ως εξής για συντομία:

Δηλαδή, ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων είναι ο εξής:

1. Υπολογίστε το βαθμωτό γινόμενο μέσω συντεταγμένων
2. Βρείτε τα μήκη των διανυσμάτων και πολλαπλασιάστε τα
3. Διαιρέστε το αποτέλεσμα του σημείου 1 με το αποτέλεσμα του σημείου 2

Ας εξασκηθούμε με παραδείγματα:

1. Βρείτε τη γωνία ανάμεσα στα βλέφαρα και. Δώστε την απάντηση στο grad-du-sah.

2. Στις συνθήκες του προηγούμενου προβλήματος να βρείτε το συνημίτονο μεταξύ των διανυσμάτων

Ας κάνουμε αυτό: Θα σας βοηθήσω να λύσετε το πρώτο πρόβλημα και προσπαθήστε να κάνετε το δεύτερο μόνοι σας! Συμφωνώ? Τότε ας ξεκινήσουμε!

1. Αυτοί οι φορείς είναι οι παλιοί μας φίλοι. Έχουμε ήδη υπολογίσει το βαθμωτό γινόμενο τους και ήταν ίσο. Οι συντεταγμένες τους είναι: , . Στη συνέχεια βρίσκουμε τα μήκη τους:

Στη συνέχεια αναζητούμε το συνημίτονο μεταξύ των διανυσμάτων:

Ποιο είναι το συνημίτονο της γωνίας; Αυτή είναι η γωνία.

Απάντηση:

Λοιπόν, τώρα λύστε μόνοι σας το δεύτερο πρόβλημα και μετά συγκρίνετε! Θα δώσω μια πολύ σύντομη λύση:

2. έχει συντεταγμένες, έχει συντεταγμένες.

Έστω η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και, τότε

Απάντηση:

Πρέπει να σημειωθεί ότι τα προβλήματα απευθείας στα διανύσματα και στη μέθοδο συντεταγμένων στο Μέρος Β του εξεταστικού χαρτιού είναι αρκετά σπάνια. Ωστόσο, η συντριπτική πλειοψηφία των προβλημάτων C2 μπορούν εύκολα να λυθούν με την εισαγωγή ενός συστήματος συντεταγμένων. Μπορείτε λοιπόν να θεωρήσετε αυτό το άρθρο το θεμέλιο με βάση το οποίο θα φτιάξουμε αρκετά έξυπνες κατασκευές που θα χρειαστούμε για να λύσουμε σύνθετα προβλήματα.

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Εσείς και εγώ συνεχίζουμε να μελετάμε τη μέθοδο συντεταγμένων. Στο τελευταίο μέρος, αντλήσαμε μια σειρά σημαντικών τύπων που σας επιτρέπουν να:

1. Βρείτε διανυσματικές συντεταγμένες
2. Βρείτε το μήκος ενός διανύσματος (εναλλακτικά: την απόσταση μεταξύ δύο σημείων)
3. Προσθήκη και αφαίρεση διανυσμάτων. Πολλαπλασιάστε τα με έναν πραγματικό αριθμό
4. Βρείτε το μέσο ενός τμήματος
5. Υπολογίστε το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων
6. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων

Φυσικά, ολόκληρη η μέθοδος συντεταγμένων δεν χωράει σε αυτά τα 6 σημεία. Βρίσκεται στη βάση μιας τέτοιας επιστήμης όπως η αναλυτική γεωμετρία, με την οποία θα εξοικειωθείτε στο πανεπιστήμιο. Θέλω απλώς να χτίσω ένα θεμέλιο που θα σας επιτρέψει να λύσετε προβλήματα σε ένα μόνο κράτος. εξέταση. Έχουμε ασχοληθεί με τα καθήκοντα του Μέρους Β. Τώρα είναι ώρα να προχωρήσουμε σε ένα εντελώς νέο επίπεδο! Αυτό το άρθρο θα αφιερωθεί σε μια μέθοδο για την επίλυση των προβλημάτων C2 στα οποία θα ήταν λογικό να μεταβείτε στη μέθοδο συντεταγμένων. Αυτός ο λογισμός καθορίζεται από το τι απαιτείται να βρεθεί στο πρόβλημα και το μέγεθος που δίνεται. Έτσι, θα χρησιμοποιούσα τη μέθοδο συντεταγμένων εάν οι ερωτήσεις είναι:

1. Βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο επιπέδων
2. Βρείτε τη γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου
3. Βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών
4. Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο
5. Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία
6. Βρείτε την απόσταση από μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο
7. Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο γραμμών

Εάν το σχήμα που δίνεται στη δήλωση προβλήματος είναι ένα σώμα περιστροφής (μπάλα, κύλινδρος, κώνος...)

Τα κατάλληλα στοιχεία για τη μέθοδο συντεταγμένων είναι:

1. Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο
2. Πυραμίδα (τριγωνική, τετράγωνη, εξαγωνική)

Επίσης από την εμπειρία μου είναι ακατάλληλη η χρήση της μεθόδου συντεταγμένων για:

1. Εύρεση περιοχών διατομής
2. Υπολογισμός όγκων σωμάτων

Ωστόσο, θα πρέπει αμέσως να σημειωθεί ότι οι τρεις «μη ευνοϊκές» καταστάσεις για τη μέθοδο συντεταγμένων είναι αρκετά σπάνιες στην πράξη. Στις περισσότερες εργασίες, μπορεί να γίνει ο σωτήρας σας, ειδικά αν δεν είστε πολύ καλοί στις τρισδιάστατες κατασκευές (που μερικές φορές μπορεί να είναι αρκετά περίπλοκες).

Ποια είναι όλα τα στοιχεία που ανέφερα παραπάνω; Δεν είναι πια επίπεδα, όπως, για παράδειγμα, ένα τετράγωνο, ένα τρίγωνο, ένας κύκλος, αλλά ογκώδεις! Συνεπώς, πρέπει να εξετάσουμε όχι ένα δισδιάστατο, αλλά ένα τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων. Είναι αρκετά εύκολο να κατασκευαστεί: απλώς εκτός από τον άξονα τετμημένης και τεταγμένης, θα εισαγάγουμε έναν άλλο άξονα, τον άξονα εφαρμογής. Το σχήμα δείχνει σχηματικά τη σχετική τους θέση:

Όλα είναι κάθετα μεταξύ τους και τέμνονται σε ένα σημείο, το οποίο θα ονομάσουμε αρχή συντεταγμένων. Όπως και πριν, θα συμβολίσουμε τον άξονα της τετμημένης, τον άξονα τεταγμένης - , και τον εισαγόμενο άξονα εφαρμογής - .

Εάν προηγουμένως κάθε σημείο στο επίπεδο χαρακτηριζόταν από δύο αριθμούς - την τετμημένη και την τεταγμένη, τότε κάθε σημείο στο διάστημα περιγράφεται ήδη με τρεις αριθμούς - την τετμημένη, την τεταγμένη και την εφαρμογή. Για παράδειγμα:

Αντίστοιχα, η τετμημένη ενός σημείου είναι ίση, η τεταγμένη είναι , και η εφαρμογή είναι .

Μερικές φορές η τετμημένη ενός σημείου ονομάζεται επίσης προβολή ενός σημείου στον άξονα της τετμημένης, η τεταγμένη - η προβολή ενός σημείου στον άξονα τεταγμένης και η εφαρμογή - η προβολή ενός σημείου στον άξονα εφαρμογής. Αντίστοιχα, αν δίνεται ένα σημείο, τότε ένα σημείο με συντεταγμένες:

ονομάζεται η προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο

ονομάζεται η προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο

Τίθεται ένα φυσικό ερώτημα: ισχύουν στο χώρο όλοι οι τύποι που προκύπτουν για τη δισδιάστατη περίπτωση; Η απάντηση είναι ναι, είναι δίκαιοι και έχουν την ίδια εμφάνιση. Για μια μικρή λεπτομέρεια. Νομίζω ότι έχετε ήδη μαντέψει ποιο είναι. Σε όλους τους τύπους θα πρέπει να προσθέσουμε έναν ακόμη όρο υπεύθυνο για τον άξονα εφαρμογής. Και συγκεκριμένα.

1. Αν δίνονται δύο βαθμοί: , τότε:

• Διανυσματικές συντεταγμένες:
• Απόσταση μεταξύ δύο σημείων (ή διανυσματικό μήκος)
• Το μέσο του τμήματος έχει συντεταγμένες

2. Αν δίνονται δύο διανύσματα: και, τότε:

• Το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι ίσο με:
• Το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων είναι ίσο με:

Ωστόσο, ο χώρος δεν είναι τόσο απλός. Όπως καταλαβαίνετε, η προσθήκη μιας ακόμη συντεταγμένης εισάγει σημαντική ποικιλομορφία στο φάσμα των μορφών που «ζουν» σε αυτόν τον χώρο. Και για περαιτέρω αφήγηση θα χρειαστεί να εισαγάγω κάποια, χονδρικά μιλώντας, «γενίκευση» της ευθείας γραμμής. Αυτή η «γενίκευση» θα είναι ένα επίπεδο. Τι γνωρίζετε για το αεροπλάνο; Προσπαθήστε να απαντήσετε στην ερώτηση, τι είναι ένα αεροπλάνο; Είναι πολύ δύσκολο να το πω. Ωστόσο, όλοι φανταζόμαστε διαισθητικά πώς μοιάζει:

Σε γενικές γραμμές, αυτό είναι ένα είδος ατελείωτου "σεντόνι" κολλημένο στο διάστημα. Το "άπειρο" πρέπει να γίνει κατανοητό ότι το επίπεδο εκτείνεται προς όλες τις κατευθύνσεις, δηλαδή, η περιοχή του είναι ίση με το άπειρο. Ωστόσο, αυτή η «πρακτική» εξήγηση δεν δίνει την παραμικρή ιδέα για τη δομή του αεροπλάνου. Και είναι αυτή που θα ενδιαφερθεί για εμάς.

Ας θυμηθούμε ένα από τα βασικά αξιώματα της γεωμετρίας:

• μια ευθεία διέρχεται από δύο διαφορετικά σημεία σε ένα επίπεδο και μόνο ένα:

Ή το ανάλογό του στο διάστημα:

Φυσικά, θυμάστε πώς να εξάγετε την εξίσωση μιας ευθείας από δύο δεδομένα σημεία· δεν είναι καθόλου δύσκολο: αν το πρώτο σημείο έχει συντεταγμένες: και το δεύτερο, τότε η εξίσωση της ευθείας θα είναι η εξής:

Το πήρες στην 7η δημοτικού. Στο διάστημα, η εξίσωση μιας ευθείας μοιάζει με αυτό: ας μας δοθούν δύο σημεία με συντεταγμένες: , τότε η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από αυτά έχει τη μορφή:

Για παράδειγμα, μια γραμμή διέρχεται από σημεία:

Πώς πρέπει να γίνει κατανοητό αυτό; Αυτό θα πρέπει να γίνει κατανοητό ως εξής: ένα σημείο βρίσκεται σε μια ευθεία εάν οι συντεταγμένες του ικανοποιούν το ακόλουθο σύστημα:

Δεν θα μας ενδιαφέρει πολύ η εξίσωση μιας ευθείας, αλλά πρέπει να δώσουμε προσοχή στην πολύ σημαντική έννοια του διανύσματος κατεύθυνσης μιας ευθείας. - κάθε μη μηδενικό διάνυσμα που βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία ή παράλληλη σε αυτήν.

Για παράδειγμα, και τα δύο διανύσματα είναι διανύσματα κατεύθυνσης μιας ευθείας γραμμής. Έστω ένα σημείο που βρίσκεται σε μια ευθεία και έστω το διάνυσμα κατεύθυνσής της. Τότε η εξίσωση της γραμμής μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

Για άλλη μια φορά, δεν θα με ενδιαφέρει πολύ η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, αλλά χρειάζομαι πραγματικά να θυμάστε τι είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης! Πάλι: Αυτό είναι ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ μη μηδενικό διάνυσμα που βρίσκεται σε μια ευθεία ή παράλληλη σε αυτήν.

Αποσύρω εξίσωση ενός επιπέδου που βασίζεται σε τρία δεδομένα σημείαδεν είναι πλέον τόσο ασήμαντο και το θέμα δεν αντιμετωπίζεται συνήθως στα μαθήματα του γυμνασίου. Αλλά μάταια! Αυτή η τεχνική είναι ζωτικής σημασίας όταν καταφεύγουμε στη μέθοδο συντεταγμένων για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων. Ωστόσο, υποθέτω ότι είστε πρόθυμοι να μάθετε κάτι νέο; Επιπλέον, θα μπορείτε να εντυπωσιάσετε τον καθηγητή σας στο πανεπιστήμιο όταν αποδειχθεί ότι γνωρίζετε ήδη πώς να χρησιμοποιείτε μια τεχνική που συνήθως μελετάται σε ένα μάθημα αναλυτικής γεωμετρίας. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Η εξίσωση ενός επιπέδου δεν είναι πολύ διαφορετική από την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο, δηλαδή, έχει τη μορφή:

ορισμένοι αριθμοί (όχι όλοι ίσοι με μηδέν), αλλά μεταβλητές, για παράδειγμα: κ.λπ. Όπως μπορείτε να δείτε, η εξίσωση ενός επιπέδου δεν διαφέρει πολύ από την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής (γραμμική συνάρτηση). Ωστόσο, θυμάσαι τι μαλώσαμε εσύ και εγώ; Είπαμε ότι αν έχουμε τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε η εξίσωση του επιπέδου μπορεί να ανακατασκευαστεί μοναδικά από αυτά. Αλλά πως? Θα προσπαθήσω να σας το εξηγήσω.

Επειδή η εξίσωση του επιπέδου είναι:

Και τα σημεία ανήκουν σε αυτό το επίπεδο, τότε όταν αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες κάθε σημείου στην εξίσωση του επιπέδου θα πρέπει να λάβουμε τη σωστή ταυτότητα:

Έτσι, υπάρχει ανάγκη να λυθούν τρεις εξισώσεις με αγνώστους! Δίλημμα! Ωστόσο, μπορείτε πάντα να υποθέσετε ότι (για να το κάνετε αυτό πρέπει να διαιρέσετε με). Έτσι, παίρνουμε τρεις εξισώσεις με τρεις άγνωστους:

Ωστόσο, δεν θα λύσουμε ένα τέτοιο σύστημα, αλλά θα γράψουμε τη μυστηριώδη έκφραση που προκύπτει από αυτό:

Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία

\[\αριστερά| (\αρχή(πίνακας)(*(20)(γ))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(πίνακας)) \right| = 0\]

Να σταματήσει! Τι είναι αυτό? Κάποια πολύ ασυνήθιστη ενότητα! Ωστόσο, το αντικείμενο που βλέπετε μπροστά σας δεν έχει καμία σχέση με τη μονάδα. Αυτό το αντικείμενο ονομάζεται ορίζουσα τρίτης τάξης. Από εδώ και πέρα, όταν ασχολείστε με τη μέθοδο των συντεταγμένων σε ένα επίπεδο, πολύ συχνά θα συναντήσετε αυτές τις ίδιες ορίζουσες. Τι είναι μια ορίζουσα τρίτης τάξης; Παραδόξως, είναι απλώς ένας αριθμός. Μένει να καταλάβουμε ποιο συγκεκριμένο αριθμό θα συγκρίνουμε με την ορίζουσα.

Ας γράψουμε πρώτα την ορίζουσα τρίτης τάξης σε μια γενικότερη μορφή:

Πού είναι κάποιοι αριθμοί. Επιπλέον, με το πρώτο ευρετήριο εννοούμε τον αριθμό της σειράς και με το δείκτη εννοούμε τον αριθμό της στήλης. Για παράδειγμα, σημαίνει ότι αυτός ο αριθμός βρίσκεται στη διασταύρωση της δεύτερης σειράς και της τρίτης στήλης. Ας θέσουμε το εξής ερώτημα: πώς ακριβώς θα υπολογίσουμε μια τέτοια ορίζουσα; Δηλαδή ποιο συγκεκριμένο νούμερο θα το συγκρίνουμε; Για την ορίζουσα τρίτης τάξης υπάρχει ένας ευρετικός (οπτικός) κανόνας τριγώνου, μοιάζει με αυτό:

1. Το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου (από την επάνω αριστερή γωνία προς την κάτω δεξιά) το γινόμενο των στοιχείων που σχηματίζουν το πρώτο τρίγωνο «κάθετο» προς την κύρια διαγώνιο το γινόμενο των στοιχείων που σχηματίζουν το δεύτερο τρίγωνο «κάθετο» στο κύρια διαγώνιο
2. Το γινόμενο των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγωνίου (από την επάνω δεξιά γωνία προς την κάτω αριστερή) το γινόμενο των στοιχείων που σχηματίζουν το πρώτο τρίγωνο «κάθετο» στη δευτερεύουσα διαγώνιο το γινόμενο των στοιχείων που σχηματίζουν το δεύτερο τρίγωνο «κάθετο» στο δευτερεύουσα διαγώνιος
3. Τότε η ορίζουσα είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ των τιμών που λαμβάνονται στο βήμα και

Αν τα γράψουμε όλα αυτά με αριθμούς, θα έχουμε την ακόλουθη έκφραση:

Ωστόσο, δεν χρειάζεται να θυμάστε τη μέθοδο υπολογισμού σε αυτήν τη μορφή· αρκεί να κρατήσετε στο κεφάλι σας τα τρίγωνα και την ίδια την ιδέα του τι αθροίζεται σε τι και τι αφαιρείται στη συνέχεια από τι).

Ας επεξηγήσουμε τη μέθοδο του τριγώνου με ένα παράδειγμα:

1. Υπολογίστε την ορίζουσα:

Ας δούμε τι προσθέτουμε και τι αφαιρούμε:

Όροι που συνοδεύονται από πλεονέκτημα:

Αυτή είναι η κύρια διαγώνιος: το γινόμενο των στοιχείων είναι ίσο με

Το πρώτο τρίγωνο, «κάθετο στην κύρια διαγώνιο: το γινόμενο των στοιχείων είναι ίσο με

Δεύτερο τρίγωνο, «κάθετο στην κύρια διαγώνιο: το γινόμενο των στοιχείων είναι ίσο με

Προσθέστε τρεις αριθμούς:

Όροι που συνοδεύονται από ένα μείον

Αυτή είναι μια πλευρική διαγώνιος: το γινόμενο των στοιχείων είναι ίσο με

Το πρώτο τρίγωνο, «κάθετο στη δευτερεύουσα διαγώνιο: το γινόμενο των στοιχείων είναι ίσο με

Το δεύτερο τρίγωνο, «κάθετο στη δευτερεύουσα διαγώνιο: το γινόμενο των στοιχείων είναι ίσο με

Προσθέστε τρεις αριθμούς:

Το μόνο που μένει να γίνει είναι να αφαιρέσουμε το άθροισμα των όρων «συν» από το άθροισμα των όρων «μείον»:

Ετσι,

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο ή υπερφυσικό στον υπολογισμό των οριζόντων τρίτης τάξης. Είναι απλώς σημαντικό να θυμάστε τα τρίγωνα και να μην κάνετε αριθμητικά λάθη. Τώρα προσπαθήστε να το υπολογίσετε μόνοι σας:

Ελέγχουμε:

1. Το πρώτο τρίγωνο κάθετο στην κύρια διαγώνιο:
2. Δεύτερο τρίγωνο κάθετο στην κύρια διαγώνιο:
3. Άθροισμα όρων με συν:
4. Το πρώτο τρίγωνο κάθετο στη δευτερεύουσα διαγώνιο:
5. Δεύτερο τρίγωνο κάθετο στη διαγώνιο πλευρά:
6. Άθροισμα όρων με μείον:
7. Το άθροισμα των όρων με συν μείον το άθροισμα των όρων με μείον:

Ακολουθούν δύο ακόμη καθοριστικοί παράγοντες, υπολογίστε μόνοι σας τις τιμές τους και συγκρίνετε τις με τις απαντήσεις:

Απαντήσεις:

Λοιπόν, όλα συνέπεσαν; Τέλεια, τότε μπορείς να προχωρήσεις! Εάν υπάρχουν δυσκολίες, τότε η συμβουλή μου είναι η εξής: στο Διαδίκτυο υπάρχουν πολλά προγράμματα για τον υπολογισμό της ορίζουσας στο διαδίκτυο. Το μόνο που χρειάζεστε είναι να βρείτε τον δικό σας προσδιορισμό, να τον υπολογίσετε μόνοι σας και μετά να τον συγκρίνετε με αυτόν που υπολογίζει το πρόγραμμα. Και ούτω καθεξής μέχρι τα αποτελέσματα να αρχίσουν να συμπίπτουν. Είμαι σίγουρος ότι αυτή η στιγμή δεν θα αργήσει να φτάσει!

Τώρα ας επιστρέψουμε στην ορίζουσα που έγραψα όταν μίλησα για την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία:

Το μόνο που χρειάζεται είναι να υπολογίσετε την τιμή του απευθείας (χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του τριγώνου) και να μηδενίσετε το αποτέλεσμα. Φυσικά, εφόσον πρόκειται για μεταβλητές, θα λάβετε κάποια έκφραση που εξαρτάται από αυτές. Είναι αυτή η έκφραση που θα είναι η εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία!

Ας το επεξηγήσουμε αυτό με ένα απλό παράδειγμα:

1. Κατασκευάστε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία

Συγκεντρώνουμε έναν ορίζοντα για αυτά τα τρία σημεία:

Ας απλοποιήσουμε:

Τώρα το υπολογίζουμε απευθείας χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τριγώνου:

\[(\αριστερά| (\αρχή(πίνακας)(*(20)(γ))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(πίνακας)) \ δεξιά| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Έτσι, η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία είναι:

Τώρα προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας ένα πρόβλημα και μετά θα το συζητήσουμε:

2. Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία

Λοιπόν, ας συζητήσουμε τώρα τη λύση:

Ας δημιουργήσουμε έναν ορίζοντα:

Και υπολογίστε την αξία του:

Τότε η εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή:

Ή, μειώνοντας κατά, παίρνουμε:

Τώρα δύο εργασίες για αυτοέλεγχο:

1. Κατασκευάστε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία:

Απαντήσεις:

Όλα συνέπεσαν; Και πάλι, εάν υπάρχουν ορισμένες δυσκολίες, τότε η συμβουλή μου είναι η εξής: πάρτε τρεις πόντους από το κεφάλι σας (με μεγάλη πιθανότητα να μην βρίσκονται στην ίδια ευθεία), φτιάξτε ένα αεροπλάνο με βάση αυτούς. Και μετά ελέγχετε τον εαυτό σας στο διαδίκτυο. Για παράδειγμα, στον ιστότοπο:

Ωστόσο, με τη βοήθεια οριζόντων θα κατασκευάσουμε όχι μόνο την εξίσωση του επιπέδου. Θυμηθείτε, σας είπα ότι δεν ορίζεται μόνο το γινόμενο κουκίδων για διανύσματα. Υπάρχει επίσης ένα προϊόν φορέα, καθώς και ένα μικτό προϊόν. Και αν το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ένας αριθμός, τότε το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων θα είναι ένα διάνυσμα και αυτό το διάνυσμα θα είναι κάθετο στα δεδομένα:

Επιπλέον, η ενότητα του θα είναι ίση με το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται στα διανύσματα και. Θα χρειαστούμε αυτό το διάνυσμα για να υπολογίσουμε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία. Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων και, αν δίνονται οι συντεταγμένες τους; Η ορίζουσα τρίτης τάξης έρχεται και πάλι σε βοήθεια. Ωστόσο, πριν προχωρήσω στον αλγόριθμο για τον υπολογισμό του διανυσματικού γινομένου, πρέπει να κάνω μια μικρή απόκλιση.

Αυτή η απόκλιση αφορά διανύσματα βάσης.

Φαίνονται σχηματικά στο σχήμα:

Γιατί πιστεύετε ότι ονομάζονται βασικά; Το γεγονός είναι ότι:

Ή στην εικόνα:

Η εγκυρότητα αυτού του τύπου είναι προφανής, επειδή:

Διάνυσμα έργα τέχνης

Τώρα μπορώ να αρχίσω να παρουσιάζω το cross product:

Το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα, το οποίο υπολογίζεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

Ας δώσουμε τώρα μερικά παραδείγματα υπολογισμού του διασταυρούμενου γινομένου:

Παράδειγμα 1: Βρείτε το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων:

Λύση: Φτιάχνω μια ορίζουσα:

Και το υπολογίζω:

Τώρα από την εγγραφή μέσω διανυσμάτων βάσης, θα επιστρέψω στη συνήθη διανυσματική σημείωση:

Ετσι:

Τώρα δοκιμάστε το.

Ετοιμος? Ελέγχουμε:

Και παραδοσιακά δύο εργασίες για έλεγχο:

1. Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο των παρακάτω διανυσμάτων:
2. Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο των παρακάτω διανυσμάτων:

Απαντήσεις:

Μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων

Η τελευταία κατασκευή που θα χρειαστώ είναι το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων. Είναι, σαν βαθμωτός, αριθμός. Υπάρχουν δύο τρόποι υπολογισμού. - μέσω μιας ορίζουσας, - μέσω ενός μικτού προϊόντος.

Δηλαδή, ας μας δοθούν τρία διανύσματα:

Τότε το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων, που συμβολίζεται με, μπορεί να υπολογιστεί ως:

1. - δηλαδή το μικτό γινόμενο είναι το βαθμωτό γινόμενο ενός διανύσματος και το διανυσματικό γινόμενο δύο άλλων διανυσμάτων

Για παράδειγμα, το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων είναι:

Προσπαθήστε να το υπολογίσετε μόνοι σας χρησιμοποιώντας το διανυσματικό γινόμενο και βεβαιωθείτε ότι τα αποτελέσματα ταιριάζουν!

Και πάλι, δύο παραδείγματα για ανεξάρτητες λύσεις:

Απαντήσεις:

Επιλογή συστήματος συντεταγμένων

Λοιπόν, τώρα έχουμε όλα τα απαραίτητα θεμέλια γνώσης για την επίλυση σύνθετων στερεομετρικών προβλημάτων γεωμετρίας. Ωστόσο, πριν προχωρήσουμε απευθείας σε παραδείγματα και αλγόριθμους για την επίλυσή τους, πιστεύω ότι θα είναι χρήσιμο να σταθώ στο εξής ερώτημα: πώς ακριβώς επιλέξτε ένα σύστημα συντεταγμένων για ένα συγκεκριμένο σχήμα.Άλλωστε, είναι η επιλογή της σχετικής θέσης του συστήματος συντεταγμένων και του αριθμού στο χώρο που θα καθορίσει τελικά πόσο δυσκίνητοι θα είναι οι υπολογισμοί.

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι σε αυτήν την ενότητα εξετάζουμε τα ακόλουθα σχήματα:

1. Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο
2. Ευθύ πρίσμα (τριγωνικό, εξαγωνικό...)
3. Πυραμίδα (τριγωνική, τετραγωνική)
4. Τετράεδρο (ίδιο με την τριγωνική πυραμίδα)

Για ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ή κύβο, σας προτείνω την ακόλουθη κατασκευή:

Δηλαδή, θα τοποθετήσω το σχήμα "στη γωνία". Ο κύβος και το παραλληλεπίπεδο είναι πολύ καλές φιγούρες. Για αυτούς, μπορείτε πάντα να βρείτε εύκολα τις συντεταγμένες των κορυφών του. Για παράδειγμα, εάν (όπως φαίνεται στο σχήμα)

τότε οι συντεταγμένες των κορυφών είναι οι εξής:

Φυσικά, δεν χρειάζεται να το θυμάστε αυτό, αλλά συνιστάται να θυμάστε πώς να τοποθετήσετε καλύτερα έναν κύβο ή ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο.

Ευθύ πρίσμα

Το πρίσμα είναι πιο επιβλαβής φιγούρα. Μπορεί να τοποθετηθεί στο χώρο με διαφορετικούς τρόπους. Ωστόσο, η ακόλουθη επιλογή μου φαίνεται η πιο αποδεκτή:

Τριγωνικό πρίσμα:

Δηλαδή, τοποθετούμε μια από τις πλευρές του τριγώνου εξ ολοκλήρου στον άξονα, και μια από τις κορυφές συμπίπτει με την αρχή των συντεταγμένων.

Εξαγωνικό πρίσμα:

Δηλαδή, μία από τις κορυφές συμπίπτει με την αρχή και μία από τις πλευρές βρίσκεται στον άξονα.

Τετραγωνική και εξαγωνική πυραμίδα:

Η κατάσταση είναι παρόμοια με έναν κύβο: ευθυγραμμίζουμε δύο πλευρές της βάσης με τους άξονες συντεταγμένων και ευθυγραμμίζουμε μία από τις κορυφές με την αρχή των συντεταγμένων. Η μόνη μικρή δυσκολία θα είναι ο υπολογισμός των συντεταγμένων του σημείου.

Για μια εξαγωνική πυραμίδα - το ίδιο όπως για ένα εξαγωνικό πρίσμα. Το κύριο καθήκον θα είναι και πάλι η εύρεση των συντεταγμένων της κορυφής.

Τετράεδρο (τριγωνική πυραμίδα)

Η κατάσταση είναι πολύ παρόμοια με αυτή που έδωσα για ένα τριγωνικό πρίσμα: η μία κορυφή συμπίπτει με την αρχή, η μία πλευρά βρίσκεται στον άξονα των συντεταγμένων.

Λοιπόν, τώρα εσύ κι εγώ είμαστε επιτέλους κοντά στο να αρχίσουμε να λύνουμε προβλήματα. Από αυτά που είπα στην αρχή του άρθρου, θα μπορούσατε να βγάλετε το εξής συμπέρασμα: τα περισσότερα προβλήματα C2 χωρίζονται σε 2 κατηγορίες: προβλήματα γωνίας και προβλήματα απόστασης. Αρχικά, θα εξετάσουμε τα προβλήματα εύρεσης γωνίας. Με τη σειρά τους χωρίζονται στις ακόλουθες κατηγορίες (καθώς αυξάνεται η πολυπλοκότητα):

Προβλήματα εύρεσης γωνιών

1. Εύρεση της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών
2. Εύρεση της γωνίας μεταξύ δύο επιπέδων

Ας δούμε αυτά τα προβλήματα διαδοχικά: ας ξεκινήσουμε βρίσκοντας τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών. Λοιπόν, θυμηθείτε, εσείς και εγώ δεν έχουμε λύσει παρόμοια παραδείγματα στο παρελθόν; Θυμάστε, είχαμε ήδη κάτι παρόμοιο... Ψάχναμε τη γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω, αν δίνονται δύο διανύσματα: και, τότε η μεταξύ τους γωνία βρίσκεται από τη σχέση:

Τώρα στόχος μας είναι να βρούμε τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών. Ας δούμε την «επίπεδη εικόνα»:

Πόσες γωνίες είχαμε όταν τέμνονται δύο ευθείες; Μόνο μερικά πράγματα. Είναι αλήθεια ότι μόνο δύο από αυτά δεν είναι ίσα, ενώ τα άλλα είναι κάθετα σε αυτά (και επομένως συμπίπτουν με αυτά). Ποια γωνία λοιπόν πρέπει να εξετάσουμε τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών: ή; Εδώ ο κανόνας είναι: η γωνία μεταξύ δύο ευθειών δεν είναι πάντα μεγαλύτερη από μοίρες. Δηλαδή, από δύο γωνίες θα επιλέγουμε πάντα τη γωνία με το μικρότερο μέτρο μοιρών. Δηλαδή, σε αυτή την εικόνα η γωνία μεταξύ δύο ευθειών είναι ίση. Για να μην ενοχλούνται κάθε φορά με την εύρεση της μικρότερης από τις δύο γωνίες, πονηροί μαθηματικοί πρότειναν τη χρήση ενός συντελεστή. Έτσι, η γωνία μεταξύ δύο ευθειών προσδιορίζεται από τον τύπο:

Εσείς, ως προσεκτικός αναγνώστης, θα έπρεπε να είχατε μια ερώτηση: πού ακριβώς παίρνουμε αυτούς τους ίδιους αριθμούς που χρειαζόμαστε για να υπολογίσουμε το συνημίτονο μιας γωνίας; Απάντηση: θα τα πάρουμε από τα διανύσματα κατεύθυνσης των γραμμών! Έτσι, ο αλγόριθμος για την εύρεση της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών είναι ο εξής:

1. Εφαρμόζουμε τον τύπο 1.

Ή πιο αναλυτικά:

1. Αναζητούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της πρώτης ευθείας
2. Αναζητούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της δεύτερης ευθείας
3. Υπολογίζουμε το συντελεστή του κλιμακωτού γινομένου τους
4. Αναζητούμε το μήκος του πρώτου διανύσματος
5. Αναζητούμε το μήκος του δεύτερου διανύσματος
6. Πολλαπλασιάστε τα αποτελέσματα του σημείου 4 με τα αποτελέσματα του σημείου 5
7. Διαιρούμε το αποτέλεσμα του σημείου 3 με το αποτέλεσμα του σημείου 6. Παίρνουμε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των ευθειών
8. Εάν αυτό το αποτέλεσμα μας επιτρέπει να υπολογίσουμε με ακρίβεια τη γωνία, το αναζητούμε
9. Διαφορετικά γράφουμε μέσω τόξου συνημιτόνου

Λοιπόν, τώρα ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε στα προβλήματα: θα δείξω τη λύση στα δύο πρώτα λεπτομερώς, θα παρουσιάσω τη λύση σε ένα άλλο σε σύντομη μορφή, και στα δύο τελευταία προβλήματα θα δώσω μόνο τις απαντήσεις. πρέπει να κάνετε μόνοι σας όλους τους υπολογισμούς για αυτούς.

Καθήκοντα:

1. Στο δεξί tet-ra-ed-re, βρείτε τη γωνία μεταξύ του ύψους του tet-ra-ed-ra και της μεσαίας πλευράς.

2. Στο δεξί εξάγωνο pi-ra-mi-de, τα εκατό os-no-va-niyas είναι ίσα και οι πλευρικές ακμές είναι ίσες, βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών και.

3. Τα μήκη όλων των άκρων του δεξιού τετρακάρβουνου pi-ra-mi-dy είναι ίσα μεταξύ τους. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών και αν από την τομή - είστε με το δεδομένο pi-ra-mi-dy, το σημείο είναι se-re-di-στις bo-co- δεύτερες νευρώσεις του

4. Στην άκρη του κύβου υπάρχει ένα σημείο ώστε να βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών και

5. Σημείο - στις άκρες του κύβου Βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών και.

Δεν είναι τυχαίο ότι τακτοποίησα τις εργασίες με αυτή τη σειρά. Ενώ δεν έχετε ακόμη αρχίσει να πλοηγείστε στη μέθοδο συντεταγμένων, θα αναλύσω μόνος μου τα πιο «προβληματικά» σχήματα και θα σας αφήσω να ασχοληθείτε με τον απλούστερο κύβο! Σταδιακά θα πρέπει να μάθετε πώς να εργάζεστε με όλες τις φιγούρες· θα αυξήσω την πολυπλοκότητα των εργασιών από θέμα σε θέμα.

Ας αρχίσουμε να λύνουμε προβλήματα:

1. Σχεδιάστε ένα τετράεδρο, τοποθετήστε το στο σύστημα συντεταγμένων όπως πρότεινα νωρίτερα. Δεδομένου ότι το τετράεδρο είναι κανονικό, όλες οι όψεις του (συμπεριλαμβανομένης της βάσης) είναι κανονικά τρίγωνα. Εφόσον δεν μας δίνεται το μήκος της πλευράς, μπορώ να το θεωρήσω ίσο. Νομίζω ότι καταλαβαίνετε ότι η γωνία δεν θα εξαρτηθεί πραγματικά από το πόσο «τεντώνεται» το τετράεδρό μας;. Θα σχεδιάσω επίσης το ύψος και τη διάμεσο στο τετράεδρο. Στην πορεία θα ζωγραφίσω τη βάση του (θα μας φανεί και χρήσιμο).

Πρέπει να βρω τη γωνία μεταξύ και. Τι ξέρουμε; Γνωρίζουμε μόνο τη συντεταγμένη του σημείου. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες των σημείων. Τώρα σκεφτόμαστε: ένα σημείο είναι το σημείο τομής των υψομέτρων (ή διχοτόμων ή διαμέσου) του τριγώνου. Και ένα σημείο είναι ένα ανεβασμένο σημείο. Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος. Τότε πρέπει επιτέλους να βρούμε: τις συντεταγμένες των σημείων: .

Ας ξεκινήσουμε με το πιο απλό πράγμα: τις συντεταγμένες ενός σημείου. Κοιτάξτε το σχήμα: Είναι σαφές ότι η εφαρμογή ενός σημείου είναι ίση με μηδέν (το σημείο βρίσκεται στο επίπεδο). Η τεταγμένη του είναι ίση (αφού είναι η διάμεσος). Είναι πιο δύσκολο να βρεις το τετμημένο του. Ωστόσο, αυτό γίνεται εύκολα με βάση το Πυθαγόρειο θεώρημα: Θεωρήστε ένα τρίγωνο. Η υποτείνυσή του είναι ίση και το ένα του πόδι είναι ίσο Τότε:

Τέλος έχουμε: .

Τώρα ας βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου. Είναι σαφές ότι η εφαρμογή του είναι πάλι ίση με μηδέν και η τεταγμένη του είναι ίδια με αυτή ενός σημείου, δηλαδή. Ας βρούμε το τετμημένο του. Αυτό γίνεται πολύ επιπόλαια αν το θυμάστε τα ύψη ενός ισόπλευρου τριγώνου με το σημείο τομής διαιρούνται αναλογικά, μετρώντας από την κορυφή. Αφού: , τότε η απαιτούμενη τετμημένη του σημείου, ίση με το μήκος του τμήματος, ισούται με: . Έτσι, οι συντεταγμένες του σημείου είναι:

Ας βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου. Είναι σαφές ότι η τετμημένη και η τεταγμένη της συμπίπτουν με την τετμημένη και τη τεταγμένη του σημείου. Και η εφαρμογή ισούται με το μήκος του τμήματος. - αυτό είναι ένα από τα σκέλη του τριγώνου. Η υποτείνουσα ενός τριγώνου είναι ένα τμήμα - ένα σκέλος. Αναζητείται για λόγους που έχω επισημάνει με έντονους χαρακτήρες:

Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος. Τότε πρέπει να θυμόμαστε τον τύπο για τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος:

Αυτό είναι όλο, τώρα μπορούμε να αναζητήσουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης:

Λοιπόν, όλα είναι έτοιμα: αντικαθιστούμε όλα τα δεδομένα στον τύπο:

Ετσι,

Απάντηση:

Δεν πρέπει να σας φοβίζουν τέτοιες «τρομακτικές» απαντήσεις: για προβλήματα C2 αυτό είναι κοινή πρακτική. Θα προτιμούσα να με εκπλήξει η «όμορφη» απάντηση σε αυτό το μέρος. Επίσης, όπως παρατηρήσατε, πρακτικά δεν κατέφυγα σε κάτι άλλο εκτός από το Πυθαγόρειο θεώρημα και την ιδιότητα των υψομέτρων ενός ισόπλευρου τριγώνου. Δηλαδή, για να λύσω το στερεομετρικό πρόβλημα, χρησιμοποίησα το ελάχιστο της στερεομετρίας. Το κέρδος σε αυτό «σβήνει» εν μέρει από μάλλον δυσκίνητους υπολογισμούς. Αλλά είναι αρκετά αλγοριθμικά!

2. Ας απεικονίσουμε μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα μαζί με το σύστημα συντεταγμένων, καθώς και τη βάση της:

Πρέπει να βρούμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών και. Έτσι, το καθήκον μας καταλήγει στην εύρεση των συντεταγμένων των σημείων: . Θα βρούμε τις συντεταγμένες των τριών τελευταίων χρησιμοποιώντας ένα μικρό σχέδιο και θα βρούμε τη συντεταγμένη της κορυφής μέσω της συντεταγμένης του σημείου. Υπάρχει πολλή δουλειά να κάνουμε, αλλά πρέπει να ξεκινήσουμε!

α) Συντεταγμένη: είναι σαφές ότι η εφαρμογή και η τεταγμένη της είναι ίσες με μηδέν. Ας βρούμε την τετμημένη. Για να το κάνετε αυτό, σκεφτείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Αλίμονο, σε αυτό γνωρίζουμε μόνο την υποτείνουσα, η οποία είναι ίση. Θα προσπαθήσουμε να βρούμε το πόδι (γιατί είναι σαφές ότι το διπλάσιο μήκος του ποδιού θα μας δώσει την τετμημένη του σημείου). Πώς μπορούμε να το αναζητήσουμε; Ας θυμηθούμε τι είδους φιγούρα έχουμε στη βάση της πυραμίδας; Αυτό είναι ένα κανονικό εξάγωνο. Τι σημαίνει? Αυτό σημαίνει ότι όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες είναι ίσες. Πρέπει να βρούμε μια τέτοια γωνία. Καμιά ιδέα? Υπάρχουν πολλές ιδέες, αλλά υπάρχει μια φόρμουλα:

Το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού n-γώνου είναι .

Έτσι, το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού εξαγώνου είναι ίσο με μοίρες. Τότε κάθε μία από τις γωνίες είναι ίση με:

Ας δούμε ξανά την εικόνα. Είναι σαφές ότι το τμήμα είναι η διχοτόμος της γωνίας. Τότε η γωνία είναι ίση με μοίρες. Επειτα:

Τότε από πού.

Έτσι, έχει συντεταγμένες

β) Τώρα μπορούμε εύκολα να βρούμε τη συντεταγμένη του σημείου: .

γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου. Εφόσον η τετμημένη του συμπίπτει με το μήκος του τμήματος, είναι ίσο. Η εύρεση της τεταγμένης δεν είναι επίσης πολύ δύσκολη: αν συνδέσουμε τις τελείες και ορίσουμε το σημείο τομής της ευθείας όπως, ας πούμε, . (κάντο μόνος σου απλή κατασκευή). Τότε λοιπόν, η τεταγμένη του σημείου Β είναι ίση με το άθροισμα των μηκών των τμημάτων. Ας δούμε ξανά το τρίγωνο. Επειτα

Τότε από Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες

δ) Ας βρούμε τώρα τις συντεταγμένες του σημείου. Θεωρήστε το ορθογώνιο και αποδείξτε ότι, λοιπόν, οι συντεταγμένες του σημείου είναι:

ε) Μένει να βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής. Είναι σαφές ότι η τετμημένη και η τεταγμένη της συμπίπτουν με την τετμημένη και τη τεταγμένη του σημείου. Ας βρούμε την εφαρμογή. Από τότε. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, μια πλευρική άκρη. Αυτή είναι η υποτείνουσα του τριγώνου μου. Τότε το ύψος της πυραμίδας είναι ένα πόδι.

Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες:

Λοιπόν, αυτό είναι, έχω τις συντεταγμένες όλων των σημείων που με ενδιαφέρουν. Αναζητώ τις συντεταγμένες των κατευθυντικών διανυσμάτων των ευθειών:

Αναζητούμε τη γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων:

Απάντηση:

Και πάλι, για την επίλυση αυτού του προβλήματος δεν χρησιμοποίησα καμία περίπλοκη τεχνική εκτός από τον τύπο για το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού n-gon, καθώς και τον ορισμό του συνημιτόνου και του ημιτόνου ενός ορθογωνίου τριγώνου.

3. Επειδή πάλι δεν μας δίνονται τα μήκη των άκρων στην πυραμίδα, θα τα θεωρήσω ίσα με ένα. Έτσι, αφού ΟΛΕΣ οι άκρες, και όχι μόνο οι πλευρικές, είναι ίσες μεταξύ τους, τότε στη βάση της πυραμίδας και εμένα υπάρχει ένα τετράγωνο και οι πλευρικές όψεις είναι κανονικά τρίγωνα. Ας σχεδιάσουμε μια τέτοια πυραμίδα, καθώς και τη βάση της σε ένα επίπεδο, σημειώνοντας όλα τα δεδομένα που δίνονται στο κείμενο του προβλήματος:

Αναζητούμε τη γωνία μεταξύ και. Θα κάνω πολύ σύντομους υπολογισμούς όταν ψάξω για τις συντεταγμένες των σημείων. Θα χρειαστεί να τα «αποκρυπτογραφήσετε»:

β) - το μέσο του τμήματος. Οι συντεταγμένες του:

γ) Θα βρω το μήκος του τμήματος χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα σε ένα τρίγωνο. Μπορώ να το βρω χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα σε ένα τρίγωνο.

Συντεταγμένες:

δ) - το μέσο του τμήματος. Οι συντεταγμένες του είναι

ε) Συντεταγμένες του διανύσματος

στ) Συντεταγμένες του διανύσματος

ζ) Αναζητώντας τη γωνία:

Ο κύβος είναι το πιο απλό σχήμα. Είμαι σίγουρος ότι θα το καταλάβεις μόνος σου. Οι απαντήσεις στα προβλήματα 4 και 5 είναι οι εξής:

Εύρεση της γωνίας μεταξύ ευθείας και επιπέδου

Λοιπόν, η ώρα για απλούς γρίφους τελείωσε! Τώρα τα παραδείγματα θα είναι ακόμα πιο περίπλοκα. Για να βρούμε τη γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου, θα προχωρήσουμε ως εξής:

1. Χρησιμοποιώντας τρία σημεία κατασκευάζουμε μια εξίσωση του επιπέδου
   ,
   χρησιμοποιώντας μια ορίζουσα τρίτης τάξης.
2. Χρησιμοποιώντας δύο σημεία, αναζητούμε τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας:
3. Εφαρμόζουμε τον τύπο για να υπολογίσουμε τη γωνία μεταξύ ευθείας γραμμής και επιπέδου:

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτός ο τύπος μοιάζει πολύ με αυτόν που χρησιμοποιήσαμε για να βρούμε γωνίες μεταξύ δύο ευθειών. Η δομή στη δεξιά πλευρά είναι απλά η ίδια, και στην αριστερή τώρα αναζητούμε το ημίτονο, όχι το συνημίτονο όπως πριν. Λοιπόν, προστέθηκε μια άσχημη ενέργεια - η αναζήτηση της εξίσωσης του αεροπλάνου.

Ας μην χρονοτριβούμε παραδείγματα λύσεων:

1. Το κύριο-αλλά-βα-νι-εμ άμεσο πρίσμα-είμαστε ένα ίσο προς φτωχό τρίγωνο. Βρείτε τη γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμής και του επιπέδου

2. Σε ορθογώνιο par-ral-le-le-pi-pe-de από τη Δύση Βρείτε τη γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμής και του επιπέδου

3. Σε ένα δεξιό εξάγωνο πρίσμα, όλες οι ακμές είναι ίσες. Βρείτε τη γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμής και του επιπέδου.

4. Στο δεξιό τριγωνικό pi-ra-mi-de με το os-no-va-ni-em των γνωστών ραβδώσεων Βρείτε μια γωνία, ob-ra-zo-van -επίπεδη στη βάση και ευθεία, περνώντας από το γκρι. παϊδάκια και

5. Τα μήκη όλων των ακμών ενός ορθού τετραγωνικού pi-ra-mi-dy με κορυφή είναι ίσα μεταξύ τους. Βρείτε τη γωνία μεταξύ της ευθείας και του επιπέδου, αν το σημείο βρίσκεται στο μέσο της άκρης του pi-ra-mi-dy.

Και πάλι, θα λύσω τα δύο πρώτα προβλήματα αναλυτικά, το τρίτο εν συντομία, και θα αφήσω τα δύο τελευταία να τα λύσετε μόνοι σας. Εξάλλου, είχατε ήδη να αντιμετωπίσετε τριγωνικές και τετράγωνες πυραμίδες, αλλά όχι ακόμα με πρίσματα.

Λύσεις:

1. Ας απεικονίσουμε ένα πρίσμα, καθώς και τη βάση του. Ας το συνδυάσουμε με το σύστημα συντεταγμένων και ας σημειώσουμε όλα τα δεδομένα που δίνονται στη δήλωση προβλήματος:

Ζητώ συγγνώμη για κάποια μη συμμόρφωση με τις αναλογίες, αλλά για την επίλυση του προβλήματος αυτό στην πραγματικότητα δεν είναι τόσο σημαντικό. Το αεροπλάνο είναι απλά ο «πίσω τοίχος» του πρίσματος μου. Αρκεί απλώς να μαντέψουμε ότι η εξίσωση ενός τέτοιου επιπέδου έχει τη μορφή:

Ωστόσο, αυτό μπορεί να εμφανιστεί απευθείας:

Ας επιλέξουμε αυθαίρετα τρία σημεία σε αυτό το επίπεδο: για παράδειγμα, .

Ας δημιουργήσουμε την εξίσωση του επιπέδου:

Άσκηση για εσάς: υπολογίστε μόνοι σας αυτόν τον καθοριστικό παράγοντα. Τα κατάφερες; Τότε η εξίσωση του επιπέδου μοιάζει με:

Ή απλά

Ετσι,

Για να λύσω το παράδειγμα, πρέπει να βρω τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της ευθείας. Εφόσον το σημείο συμπίπτει με την αρχή των συντεταγμένων, οι συντεταγμένες του διανύσματος θα συμπίπτουν απλώς με τις συντεταγμένες του σημείου.Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε πρώτα τις συντεταγμένες του σημείου.

Για να το κάνετε αυτό, σκεφτείτε ένα τρίγωνο. Ας τραβήξουμε το ύψος (γνωστό και ως διάμεσος και διχοτόμος) από την κορυφή. Αφού, η τεταγμένη του σημείου ισούται με. Για να βρούμε την τετμημένη αυτού του σημείου, πρέπει να υπολογίσουμε το μήκος του τμήματος. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες:

Μια τελεία είναι μια "ανυψωμένη" κουκκίδα:

Τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος είναι:

Απάντηση:

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα ουσιαστικά δύσκολο κατά την επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Στην πραγματικότητα, η διαδικασία απλοποιείται λίγο περισσότερο από την «ευθύτητα» μιας φιγούρας όπως ένα πρίσμα. Τώρα ας προχωρήσουμε στο επόμενο παράδειγμα:

2. Σχεδιάστε ένα παραλληλεπίπεδο, σχεδιάστε ένα επίπεδο και μια ευθεία γραμμή σε αυτό και επίσης σχεδιάστε ξεχωριστά την κάτω βάση του:

Αρχικά, βρίσκουμε την εξίσωση του επιπέδου: Οι συντεταγμένες των τριών σημείων που βρίσκονται σε αυτό:

(οι δύο πρώτες συντεταγμένες λαμβάνονται με προφανή τρόπο και μπορείτε εύκολα να βρείτε την τελευταία συντεταγμένη από την εικόνα από το σημείο). Στη συνέχεια συνθέτουμε την εξίσωση του επιπέδου:

Υπολογίζουμε:

Αναζητούμε τις συντεταγμένες του καθοδηγητικού διανύσματος: Είναι σαφές ότι οι συντεταγμένες του συμπίπτουν με τις συντεταγμένες του σημείου, έτσι δεν είναι; Πώς να βρείτε συντεταγμένες; Αυτές είναι οι συντεταγμένες του σημείου, υψωμένες κατά μία κατά μήκος του άξονα εφαρμογής! . Στη συνέχεια αναζητούμε την επιθυμητή γωνία:

Απάντηση:

3. Σχεδιάστε μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα και στη συνέχεια σχεδιάστε ένα επίπεδο και μια ευθεία γραμμή σε αυτήν.

Εδώ είναι ακόμη και προβληματικό να σχεδιάσετε ένα επίπεδο, για να μην αναφέρουμε την επίλυση αυτού του προβλήματος, αλλά η μέθοδος συντεταγμένων δεν ενδιαφέρεται! Η ευελιξία του είναι το βασικό του πλεονέκτημα!

Το αεροπλάνο διέρχεται από τρία σημεία: . Αναζητούμε τις συντεταγμένες τους:

1) . Μάθετε μόνοι σας τις συντεταγμένες για τα δύο τελευταία σημεία. Θα χρειαστεί να λύσετε το πρόβλημα της εξαγωνικής πυραμίδας για αυτό!

2) Κατασκευάζουμε την εξίσωση του επιπέδου:

Αναζητούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος: . (Δείτε ξανά το πρόβλημα της τριγωνικής πυραμίδας!)

3) Ψάχνετε για μια γωνία:

Απάντηση:

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα υπερφυσικά δύσκολο σε αυτές τις εργασίες. Απλά πρέπει να είστε πολύ προσεκτικοί με τις ρίζες. Θα δώσω απαντήσεις μόνο στα δύο τελευταία προβλήματα:

Όπως μπορείτε να δείτε, η τεχνική για την επίλυση προβλημάτων είναι η ίδια παντού: το κύριο καθήκον είναι να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών και να τις αντικαταστήσετε σε ορισμένους τύπους. Πρέπει ακόμα να εξετάσουμε μια ακόμη κατηγορία προβλημάτων για τον υπολογισμό των γωνιών, και συγκεκριμένα:

Υπολογισμός γωνιών μεταξύ δύο επιπέδων

Ο αλγόριθμος λύσης θα είναι ο εξής:

1. Χρησιμοποιώντας τρία σημεία αναζητούμε την εξίσωση του πρώτου επιπέδου:
2. Χρησιμοποιώντας τα άλλα τρία σημεία αναζητούμε την εξίσωση του δεύτερου επιπέδου:
3. Εφαρμόζουμε τον τύπο:

Όπως μπορείτε να δείτε, ο τύπος μοιάζει πολύ με τους δύο προηγούμενους, με τη βοήθεια των οποίων αναζητήσαμε γωνίες μεταξύ ευθειών και μεταξύ ευθείας γραμμής και επιπέδου. Επομένως, δεν θα σας είναι δύσκολο να το θυμηθείτε αυτό. Ας προχωρήσουμε στην ανάλυση των εργασιών:

1. Η πλευρά της βάσης του δεξιού τριγωνικού πρίσματος είναι ίση και η διάμετρος της πλευρικής όψης είναι ίση. Να βρείτε τη γωνία μεταξύ του επιπέδου και του επιπέδου του άξονα του πρίσματος.

2. Στο δεξιό τετράγωνο pi-ra-mi-de, του οποίου όλες οι ακμές είναι ίσες, βρείτε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ του επιπέδου και του επιπέδου οστού, που διέρχεται από το σημείο ανά στυλό-di-ku- ψεύτη-αλλά στρέιτ.

3. Σε ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα, οι πλευρές της βάσης είναι ίσες και οι πλευρικές ακμές ίσες. Υπάρχει ένα σημείο στην άκρη από-με-τσε-ον έτσι ώστε. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων και

4. Σε ορθογώνιο τετράπλευρο πρίσμα, οι πλευρές της βάσης είναι ίσες, και οι πλευρικές ακμές ίσες. Υπάρχει ένα σημείο στην άκρη από το σημείο ώστε να βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων και.

5. Σε έναν κύβο, βρείτε το co-si-nus της γωνίας μεταξύ των επιπέδων και

Λύσεις προβλημάτων:

1. Σχεδιάζω ένα κανονικό (ισόπλευρο τρίγωνο στη βάση) τριγωνικό πρίσμα και σημειώνω πάνω του τα επίπεδα που εμφανίζονται στη δήλωση προβλήματος:

Πρέπει να βρούμε τις εξισώσεις δύο επιπέδων: Η εξίσωση της βάσης είναι ασήμαντη: μπορείτε να συνθέσετε την αντίστοιχη ορίζουσα χρησιμοποιώντας τρία σημεία, αλλά θα συνθέσω την εξίσωση αμέσως:

Τώρα ας βρούμε την εξίσωση Το σημείο έχει συντεταγμένες Σημείο - Δεδομένου ότι είναι η διάμεσος και το ύψος του τριγώνου, το βρίσκουμε εύκολα χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο. Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες: Ας βρούμε την εφαρμογή του σημείου Για να το κάνετε αυτό, σκεφτείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Τότε παίρνουμε τις παρακάτω συντεταγμένες: Συνθέτουμε την εξίσωση του επιπέδου.

Υπολογίζουμε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων:

Απάντηση:

2. Κάνοντας ένα σχέδιο:

Το πιο δύσκολο είναι να καταλάβουμε τι είδους μυστηριώδες επίπεδο είναι αυτό, που περνά κάθετα από το σημείο. Λοιπόν, το κύριο πράγμα είναι, τι είναι; Το κύριο πράγμα είναι η προσοχή! Στην πραγματικότητα, η γραμμή είναι κάθετη. Η ευθεία είναι επίσης κάθετη. Τότε το επίπεδο που διέρχεται από αυτές τις δύο ευθείες θα είναι κάθετο στη γραμμή και, παρεμπιπτόντως, θα διέρχεται από το σημείο. Αυτό το αεροπλάνο περνά επίσης από την κορυφή της πυραμίδας. Τότε το επιθυμητό αεροπλάνο - Και το αεροπλάνο μας έχει ήδη δοθεί. Αναζητούμε τις συντεταγμένες των σημείων.

Βρίσκουμε τη συντεταγμένη του σημείου μέσα από το σημείο. Από τη μικρή εικόνα είναι εύκολο να συμπεράνουμε ότι οι συντεταγμένες του σημείου θα είναι οι εξής: Τι μένει τώρα να βρεθεί για να βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής της πυραμίδας; Πρέπει επίσης να υπολογίσετε το ύψος του. Αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας το ίδιο Πυθαγόρειο θεώρημα: πρώτα να αποδείξετε ότι (τετριμμένα από μικρά τρίγωνα που σχηματίζουν ένα τετράγωνο στη βάση). Εφόσον κατά συνθήκη, έχουμε:

Τώρα όλα είναι έτοιμα: συντεταγμένες κορυφής:

Συνθέτουμε την εξίσωση του επιπέδου:

Είστε ήδη ειδικός στον υπολογισμό των καθοριστικών παραγόντων. Χωρίς δυσκολία θα λάβετε:

Ή αλλιώς (αν πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές με τη ρίζα του δύο)

Τώρα ας βρούμε την εξίσωση του επιπέδου:

(Δεν έχετε ξεχάσει πώς παίρνουμε την εξίσωση ενός επιπέδου, σωστά; Αν δεν καταλαβαίνετε από πού προήλθε αυτό το μείον ένα, τότε επιστρέψτε στον ορισμό της εξίσωσης ενός επιπέδου! Απλώς αποδεικνυόταν πάντα πριν από αυτό το αεροπλάνο μου ανήκε στην αρχή των συντεταγμένων!)

Υπολογίζουμε την ορίζουσα:

(Μπορεί να παρατηρήσετε ότι η εξίσωση του επιπέδου συμπίπτει με την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία και! Σκεφτείτε γιατί!)

Τώρα ας υπολογίσουμε τη γωνία:

Πρέπει να βρούμε το ημίτονο:

Απάντηση:

3. Δύσκολη ερώτηση: τι νομίζετε ότι είναι ένα ορθογώνιο πρίσμα; Αυτό είναι απλώς ένα παραλληλεπίπεδο που γνωρίζετε καλά! Ας κάνουμε μια ζωγραφιά αμέσως! Δεν χρειάζεται καν να απεικονίσετε τη βάση ξεχωριστά, είναι ελάχιστα χρήσιμη εδώ:

Το επίπεδο, όπως σημειώσαμε νωρίτερα, γράφεται με τη μορφή εξίσωσης:

Τώρα ας δημιουργήσουμε ένα αεροπλάνο

Δημιουργούμε αμέσως την εξίσωση του επιπέδου:

Ψάχνετε για γωνία:

Τώρα οι απαντήσεις στα δύο τελευταία προβλήματα:

Λοιπόν, τώρα είναι η ώρα να κάνουμε ένα μικρό διάλειμμα, γιατί εσύ και εγώ είμαστε υπέροχοι και έχουμε κάνει εξαιρετική δουλειά!

Συντεταγμένες και διανύσματα. Προχωρημένο επίπεδο

Σε αυτό το άρθρο θα συζητήσουμε μαζί σας μια άλλη κατηγορία προβλημάτων που μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων: προβλήματα υπολογισμού απόστασης. Συγκεκριμένα, θα εξετάσουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις:

1. Υπολογισμός της απόστασης μεταξύ τεμνόμενων γραμμών.

Έχω παραγγείλει αυτές τις εργασίες με σειρά αυξανόμενης δυσκολίας. Αποδεικνύεται ότι είναι πιο εύκολο να βρεθεί απόσταση από σημείο σε επίπεδο, και το πιο δύσκολο είναι να το βρεις απόσταση μεταξύ των γραμμών διέλευσης. Αν και, φυσικά, τίποτα δεν είναι ακατόρθωτο! Ας μην χρονοτριβούμε και ας προχωρήσουμε αμέσως στην εξέταση της πρώτης κατηγορίας προβλημάτων:

Υπολογισμός της απόστασης από ένα σημείο σε ένα επίπεδο

Τι χρειαζόμαστε για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα;

1. Συντεταγμένες σημείων

Έτσι, μόλις λάβουμε όλα τα απαραίτητα δεδομένα, εφαρμόζουμε τον τύπο:

Θα πρέπει να γνωρίζετε ήδη πώς κατασκευάζουμε την εξίσωση ενός επιπέδου από τα προηγούμενα προβλήματα που εξέτασα στο τελευταίο μέρος. Ας πάμε κατευθείαν στα καθήκοντα. Το σχήμα είναι το εξής: 1, 2 - Σας βοηθάω να αποφασίσετε, και με κάποιες λεπτομέρειες, 3, 4 - μόνο η απάντηση, πραγματοποιείτε τη λύση μόνοι σας και συγκρίνετε. Ας αρχίσουμε!

Καθήκοντα:

1. Δίνεται ένας κύβος. Το μήκος της άκρης του κύβου είναι ίσο. Βρείτε την απόσταση από το σε-ρε-ντι-να από την τομή μέχρι το επίπεδο

2. Δεδομένου του δεξιού τετρακάρβουνου pi-ra-mi-yes, η πλευρά της πλευράς είναι ίση με τη βάση. Βρείτε την απόσταση από το σημείο μέχρι το επίπεδο όπου - se-re-di-στις άκρες.

3. Στο δεξιό τριγωνικό pi-ra-mi-de με το os-no-va-ni-em, το πλάγιο άκρο είναι ίσο και το εκατό-ro-on το os-no-va-nia είναι ίσο. Βρείτε την απόσταση από την κορυφή μέχρι το επίπεδο.

4. Σε ορθό εξαγωνικό πρίσμα, όλες οι ακμές είναι ίσες. Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο.

Λύσεις:

1. Σχεδιάστε έναν κύβο με μονές άκρες, κατασκευάστε ένα τμήμα και ένα επίπεδο, συμβολίστε το μέσο του τμήματος με ένα γράμμα

.

Αρχικά, ας ξεκινήσουμε με το εύκολο: βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου. Από τότε (θυμηθείτε τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος!)

Τώρα συνθέτουμε την εξίσωση του επιπέδου χρησιμοποιώντας τρία σημεία

\[\αριστερά| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Τώρα μπορώ να αρχίσω να βρίσκω την απόσταση:

2. Ξεκινάμε ξανά με ένα σχέδιο στο οποίο σημειώνουμε όλα τα δεδομένα!

Για μια πυραμίδα, θα ήταν χρήσιμο να σχεδιάσετε τη βάση της ξεχωριστά.

Ακόμα και το γεγονός ότι ζωγραφίζω σαν το κοτόπουλο με το πόδι του δεν θα μας εμποδίσει να λύσουμε αυτό το πρόβλημα με ευκολία!

Τώρα είναι εύκολο να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου

Αφού οι συντεταγμένες του σημείου, λοιπόν

2. Αφού οι συντεταγμένες του σημείου α είναι το μέσο του τμήματος, τότε

Χωρίς κανένα πρόβλημα, μπορούμε να βρούμε τις συντεταγμένες δύο ακόμη σημείων στο επίπεδο. Δημιουργούμε μια εξίσωση για το επίπεδο και την απλοποιούμε:

\[\αριστερά| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(πίνακας)) \right|) \right| = 0\]

Επειδή το σημείο έχει συντεταγμένες: , υπολογίζουμε την απόσταση:

Απάντηση (πολύ σπάνια!):

Λοιπόν, το κατάλαβες; Μου φαίνεται ότι όλα εδώ είναι εξίσου τεχνικά όπως και στα παραδείγματα που εξετάσαμε στο προηγούμενο μέρος. Είμαι λοιπόν βέβαιος ότι αν έχετε κατακτήσει αυτό το υλικό, τότε δεν θα σας είναι δύσκολο να λύσετε τα υπόλοιπα δύο προβλήματα. Θα σου δώσω μόνο τις απαντήσεις:

Υπολογισμός της απόστασης από μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο

Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τίποτα νέο εδώ. Πώς μπορούν να τοποθετηθούν μια ευθεία γραμμή και ένα επίπεδο το ένα σε σχέση με το άλλο; Έχουν μόνο μία δυνατότητα: να τέμνονται, ή μια ευθεία είναι παράλληλη με το επίπεδο. Ποια πιστεύετε ότι είναι η απόσταση από μια ευθεία μέχρι το επίπεδο με το οποίο τέμνεται αυτή η ευθεία; Μου φαίνεται ότι είναι σαφές εδώ ότι μια τέτοια απόσταση είναι ίση με μηδέν. Όχι ενδιαφέρουσα περίπτωση.

Η δεύτερη περίπτωση είναι πιο δύσκολη: εδώ η απόσταση είναι ήδη μη μηδενική. Ωστόσο, εφόσον η ευθεία είναι παράλληλη προς το επίπεδο, τότε κάθε σημείο της ευθείας απέχει από αυτό το επίπεδο:

Ετσι:

Αυτό σημαίνει ότι το καθήκον μου έχει μειωθεί στο προηγούμενο: ψάχνουμε για τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου σε μια ευθεία γραμμή, αναζητούμε την εξίσωση του επιπέδου και υπολογίζουμε την απόσταση από το σημείο στο επίπεδο. Στην πραγματικότητα, τέτοιες εργασίες είναι εξαιρετικά σπάνιες στην Ενιαία Κρατική Εξέταση. Κατάφερα να βρω μόνο ένα πρόβλημα και τα δεδομένα σε αυτό ήταν τέτοια που η μέθοδος συντεταγμένων δεν ήταν πολύ εφαρμόσιμη σε αυτό!

Τώρα ας προχωρήσουμε σε μια άλλη, πολύ πιο σημαντική κατηγορία προβλημάτων:

Υπολογισμός της απόστασης ενός σημείου από μια ευθεία

Τι χρειαζόμαστε?

1. Συντεταγμένες του σημείου από το οποίο αναζητούμε την απόσταση:

2. Συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται σε μια ευθεία

3. Συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας

Τι φόρμουλα χρησιμοποιούμε;

Τι σημαίνει ο παρονομαστής αυτού του κλάσματος θα πρέπει να είναι σαφές σε εσάς: αυτό είναι το μήκος του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας. Αυτός είναι ένας πολύ δύσκολος αριθμητής! Η έκφραση σημαίνει το μέτρο (μήκος) του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων και Πώς να υπολογίσετε το διανυσματικό γινόμενο, μελετήσαμε στο προηγούμενο μέρος της εργασίας. Ανανεώστε τις γνώσεις σας, θα τις χρειαστούμε πολύ τώρα!

Έτσι, ο αλγόριθμος για την επίλυση προβλημάτων θα είναι ο εξής:

1. Αναζητούμε τις συντεταγμένες του σημείου από το οποίο αναζητούμε την απόσταση:

2. Αναζητούμε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου της ευθείας προς το οποίο αναζητούμε την απόσταση:

3. Κατασκευάστε ένα διάνυσμα

4. Κατασκευάστε ένα κατευθυντικό διάνυσμα ευθείας γραμμής

5. Υπολογίστε το γινόμενο του διανύσματος

6. Αναζητούμε το μήκος του διανύσματος που προκύπτει:

7. Υπολογίστε την απόσταση:

Έχουμε πολλή δουλειά να κάνουμε και τα παραδείγματα θα είναι αρκετά σύνθετα! Εστιάστε λοιπόν τώρα όλη σας την προσοχή!

1. Δίνεται ένα ορθογώνιο τριγωνικό pi-ra-mi-da με κορυφή. Το εκατό-ρο-με βάση το pi-ra-mi-dy είναι ίσο, είσαι ίσος. Βρείτε την απόσταση από την γκρίζα άκρη μέχρι την ευθεία, όπου τα σημεία και είναι οι γκρι άκρες και από την κτηνιατρική.

2. Τα μήκη των νευρώσεων και της ευθείας γωνίας-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da είναι αντίστοιχα ίσα και Βρείτε την απόσταση από την κορυφή μέχρι την ευθεία.

3. Σε ορθό εξαγωνικό πρίσμα, όλες οι ακμές είναι ίσες, βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή

Λύσεις:

1. Κάνουμε ένα προσεγμένο σχέδιο στο οποίο σημειώνουμε όλα τα δεδομένα:

Έχουμε πολλή δουλειά να κάνουμε! Αρχικά, θα ήθελα να περιγράψω με λόγια τι θα αναζητήσουμε και με ποια σειρά:

1. Συντεταγμένες σημείων και

2. Συντεταγμένες σημείων

3. Συντεταγμένες σημείων και

4. Συντεταγμένες διανυσμάτων και

5. Το σταυρωτό γινόμενο τους

6. Διάνυσμα μήκος

7. Μήκος του διανυσματικού γινομένου

8. Απόσταση από έως

Λοιπόν, έχουμε πολλή δουλειά μπροστά μας! Ας το φτάσουμε με σηκωμένα μανίκια!

1. Για να βρούμε τις συντεταγμένες του ύψους της πυραμίδας, πρέπει να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου. Η εφαρμογή της είναι μηδέν και η τεταγμένη της ίση με την τετμημένη της ισούται με το μήκος του τμήματος. Επειδή είναι το ύψος του ισόπλευρο τρίγωνο, χωρίζεται στην αναλογία, μετρώντας από την κορυφή, από εδώ. Τελικά, πήραμε τις συντεταγμένες:

Συντεταγμένες σημείων

2. - μέση του τμήματος

3. - μέση του τμήματος

Μέσο σημείο του τμήματος

4.Συντεταγμένες

Διανυσματικές συντεταγμένες

5. Υπολογίστε το διανυσματικό γινόμενο:

6. Μήκος διανύσματος: ο ευκολότερος τρόπος αντικατάστασης είναι ότι το τμήμα είναι η μέση γραμμή του τριγώνου, που σημαίνει ότι είναι ίσο με το μισό της βάσης. Ετσι.

7. Υπολογίστε το μήκος του διανυσματικού γινομένου:

8. Τέλος, βρίσκουμε την απόσταση:

Ουφ, αυτό είναι! Θα σας πω ειλικρινά: η επίλυση αυτού του προβλήματος χρησιμοποιώντας παραδοσιακές μεθόδους (μέσω της κατασκευής) θα ήταν πολύ πιο γρήγορη. Εδώ όμως μείωσα τα πάντα σε έναν έτοιμο αλγόριθμο! Νομίζω ότι ο αλγόριθμος λύσης σας είναι ξεκάθαρος; Ως εκ τούτου, θα σας ζητήσω να λύσετε μόνοι σας τα υπόλοιπα δύο προβλήματα. Ας συγκρίνουμε τις απαντήσεις;

Και πάλι, επαναλαμβάνω: είναι πιο εύκολο (γρηγορότερο) να λυθούν αυτά τα προβλήματα μέσω κατασκευών, παρά να καταφύγουμε στη μέθοδο των συντεταγμένων. Έδειξα αυτή τη μέθοδο λύσης μόνο για να σας δείξω μια καθολική μέθοδο που σας επιτρέπει να "μην ολοκληρώσετε την κατασκευή τίποτα".

Τέλος, εξετάστε την τελευταία κατηγορία προβλημάτων:

Υπολογισμός της απόστασης μεταξύ τεμνόμενων γραμμών

Εδώ ο αλγόριθμος για την επίλυση προβλημάτων θα είναι παρόμοιος με τον προηγούμενο. Τι έχουμε:

3. Κάθε διάνυσμα που συνδέει τα σημεία της πρώτης και της δεύτερης γραμμής:

Πώς βρίσκουμε την απόσταση μεταξύ των γραμμών;

Ο τύπος έχει ως εξής:

Ο αριθμητής είναι ο συντελεστής του μικτού γινομένου (το εισαγάγαμε στο προηγούμενο μέρος) και ο παρονομαστής είναι, όπως στον προηγούμενο τύπο (ο συντελεστής του διανυσματικού γινόμενου των διανυσμάτων κατεύθυνσης των ευθειών, η απόσταση μεταξύ των οποίων αναζητούν).

Θα σου το θυμίσω

Επειτα ο τύπος για την απόσταση μπορεί να ξαναγραφτεί ως:

Αυτή είναι μια προσδιοριστική διαιρούμενη με μια ορίζουσα! Αν και, για να είμαι ειλικρινής, δεν έχω χρόνο για αστεία εδώ! Αυτός ο τύπος είναι, στην πραγματικότητα, πολύ δυσκίνητος και οδηγεί σε αρκετά περίπλοκους υπολογισμούς. Αν ήμουν στη θέση σου, θα το κατέφευγα μόνο ως έσχατη λύση!

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μερικά προβλήματα χρησιμοποιώντας την παραπάνω μέθοδο:

1. Σε ορθογώνιο τριγωνικό πρίσμα, του οποίου όλες οι ακμές είναι ίσες, βρείτε την απόσταση μεταξύ των ευθειών και.

2. Με ένα ορθογώνιο τριγωνικό πρίσμα, όλες οι ακμές της βάσης είναι ίσες με το τμήμα που διέρχεται από τη νεύρωση του σώματος και οι νευρώσεις se-re-di-well είναι ένα τετράγωνο. Βρείτε την απόσταση μεταξύ των ευθειών και

Εγώ αποφασίζω το πρώτο και με βάση αυτό αποφασίζεις εσύ το δεύτερο!

1. Σχεδιάζω ένα πρίσμα και σημειώνω ευθείες και

Συντεταγμένες σημείου Γ: τότε

Συντεταγμένες σημείων

Διανυσματικές συντεταγμένες

Συντεταγμένες σημείων

Διανυσματικές συντεταγμένες

Διανυσματικές συντεταγμένες

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \δεξιά) = \αριστερά| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (γ))0&0&1\end(πίνακας))\\(\αρχή(πίνακας)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Υπολογίζουμε το διανυσματικό γινόμενο μεταξύ των διανυσμάτων και

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \αριστερά| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j)&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Τώρα υπολογίζουμε το μήκος του:

Απάντηση:

Τώρα προσπαθήστε να ολοκληρώσετε προσεκτικά τη δεύτερη εργασία. Η απάντηση σε αυτό θα είναι: .

Συντεταγμένες και διανύσματα. Σύντομη περιγραφή και βασικοί τύποι

Ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα. - η αρχή του διανύσματος, - το τέλος του διανύσματος.
Ένα διάνυσμα συμβολίζεται με ή.

Απόλυτη τιμήδιάνυσμα - το μήκος του τμήματος που αντιπροσωπεύει το διάνυσμα. Συμβολίζεται ως.

Διανυσματικές συντεταγμένες:

,
πού είναι τα άκρα του διανύσματος \displaystyle a .

Άθροισμα διανυσμάτων: .

Προϊόν διανυσμάτων:

Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων:

Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ίσο με το γινόμενο των απόλυτων τιμών τους και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Εάν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, σημαίνει ότι είστε πολύ κουλ.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν διαβάσεις μέχρι το τέλος, τότε είσαι σε αυτό το 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό.

Έχετε κατανοήσει τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, αυτό... αυτό είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...

Για τι?

Για επιτυχή επιτυχία στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους, για εισαγωγή στο κολέγιο με προϋπολογισμό και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, για τη ζωή.

Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…

Οι άνθρωποι που έχουν λάβει καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από εκείνους που δεν την έχουν λάβει. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγονται πολλές περισσότερες ευκαιρίες μπροστά τους και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...

Σκέψου όμως και μόνος σου...

Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από άλλους στις Εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους και τελικά θα είσαι... πιο ευτυχισμένος;

ΚΕΡΔΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Δεν θα σας ζητηθεί θεωρία κατά τη διάρκεια της εξέτασης.

Θα χρειαστείτε λύνει προβλήματα με το χρόνο.

Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΥ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα έχετε χρόνο.

Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να το επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε τη συλλογή όπου θέλετε, αναγκαστικά με λύσεις, αναλυτική ανάλυσηκαι αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (προαιρετικά) και φυσικά τις προτείνουμε.

Προκειμένου να βελτιωθείτε στη χρήση των εργασιών μας, πρέπει να συμβάλετε στην παράταση της διάρκειας ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.

Πως? Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Ξεκλειδώστε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο -
2. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σχολικού βιβλίου - Αγοράστε ένα σχολικό βιβλίο - 899 RUR

Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό μας βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.

Παρέχεται πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες για ΟΛΗ τη ζωή του ιστότοπου.

Συμπερασματικά...

Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.

Το «Κατανοούμενο» και το «Μπορώ να λύσω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.

Βρείτε προβλήματα και λύστε τα!

Ένα γεωμετρικό διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα. Για την περιγραφή των διανυσμάτων, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός. .

Το μήκος ενός διανύσματος είναι η απόσταση μεταξύ του σημείου έναρξης και του σημείου τέλους του διανύσματος. Θα συμβολίσουμε το μήκος του διανύσματος με , ή απλά ΑΒ, α.

Ένα διάνυσμα ονομάζεται μηδέν αν η αρχή και το τέλος του συμπίπτουν. Ένα τέτοιο διάνυσμα δεν έχει κατεύθυνση, το μήκος του είναι μηδέν, συμβολίζεται ως .

Τα διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικά εάν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Αυτό χαρακτηρίζεται ως .

Τα διανύσματα ονομάζονται συνεπίπεδα εάν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

Δύο διανύσματα λέγονται ίσα αν είναι συγγραμμικά και έχουν το ίδιο μήκος και κατεύθυνση.

Ελεύθερο διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα που μπορεί να μετακινηθεί στο χώρο παράλληλα με την κατεύθυνσή του.

Σημειώστε ότι για ένα ελεύθερο διάνυσμα, η προέλευσή του μπορεί να συνδυαστεί με οποιοδήποτε σημείο του χώρου.

Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε μόνο με ελεύθερα διανύσματα.

Γραμμικές πράξεις σε διανύσματα και τις ιδιότητές τους

Οι γραμμικές πράξεις στα διανύσματα είναι πρόσθεση διανυσμάτων και πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό.

Το άθροισμα δύο γεωμετρικών διανυσμάτων ονομάζεται διάνυσμα, το οποίο μπορεί να κατασκευαστεί είτε από τον κανόνα του τριγώνου είτε από τον κανόνα του παραλληλογράμμου.

1.Σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου

Με παράλληλη μεταφορά συνδυάζουμε το τέλος του διανύσματος με την αρχή του διανύσματος. Τότε το άθροισμα + θα ονομάζεται διάνυσμα , η αρχή του οποίου συμπίπτει με την αρχή του διανύσματος και το τέλος με το τέλος του διανύσματος.

2. Σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου

Με παράλληλη μεταφορά συνδυάζουμε την αρχή του διανύσματος και την αρχή του διανύσματος. Ας συμπληρώσουμε το παραλληλόγραμμο στα άκρα των διανυσμάτων. Άθροισμα διανυσμάτων θα ονομάσουμε το διάνυσμα που είναι η διαγώνιος του παραλληλογράμμου, η αρχή του οποίου συμπίπτει με την αρχή των διανυσμάτων και .

Ιδιότητες πρόσθεσης διανυσμάτων.

1. Ανταλλαγή

2.Συνεταιρισμός

3. Η ύπαρξη μηδενικού διανύσματος τέτοιου ώστε

4. Για κάθε διάνυσμα υπάρχει αντίθετο διάνυσμα () τέτοιο ώστε

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της πρόσθεσης διανύσματος, είναι επίσης δυνατό να αποδειχθεί ότι για οποιαδήποτε διανύσματα και υπάρχει ένα διάνυσμα που, όταν προστεθεί, θα δώσει ένα διάνυσμα.

Ένα τέτοιο διάνυσμα ονομάζεται γεωμετρική διαφορά διανυσμάτων και:

Το γινόμενο ενός διανύσματος και ενός πραγματικού αριθμού είναι ένα διάνυσμα που έχει μήκος ίσο με το γινόμενο των αριθμών και διεύθυνση που συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος if , και το αντίθετο αν .

Ιδιότητες του γινομένου ενός διανύσματος και ενός αριθμού.

5. Συσχετισμός παραγόντων

6. Κατανομή του αθροίσματος των διανυσμάτων ως προς τον πολλαπλασιασμό με έναν πραγματικό αριθμό

7. Κατανομή ως προς το άθροισμα των αριθμών

8. Ύπαρξη του αριθμού 1, που δεν αλλάζει το διάνυσμα κατά τον πολλαπλασιασμό

Και οι οκτώ ιδιότητες των γραμμικών πράξεων προέρχονται από τις γεωμετρικές ιδιότητες των διανυσμάτων.

Μπορείτε να το κάνετε διαφορετικά. Χρησιμοποιήστε αυτές τις οκτώ ιδιότητες ως βάση για τον ορισμό των διανυσμάτων.

Ορισμός.

Οποιοδήποτε σύνολο αντικειμένων για τα οποία εισάγεται η σχέση ισότητας, καθώς και οι πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού με έναν αριθμό που ικανοποιεί τις ιδιότητες 1-8, ονομάζεται γραμμικό διανυσματικό χώρο.

Τα στοιχεία ενός τέτοιου χώρου ονομάζονται διανύσματα ή σημεία αυτού του χώρου.

Παραδείγματα γραμμικών διανυσματικών χώρων

1. Το σύνολο όλων των γεωμετρικών διανυσμάτων.

2. Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. Ας το συμβολίσουμε ή .

3. Το σύνολο όλων των δυνατών ζευγών πραγματικών αριθμών. Ας το χαρακτηρίσουμε.

Έστω = και = στοιχεία αυτού του συνόλου. Θα καλέσουμε τους αριθμούς και τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και . Διανύσματα και θεωρούνται ίσα αν οι συντεταγμένες τους είναι ίσες, δηλ. Και

Θα ονομάσουμε το άθροισμα των διανυσμάτων ένα διάνυσμα που έχει συντεταγμένες και .

Με αυτήν την εισαγωγή γραμμικών πράξεων, όλες οι ιδιότητες 1-8 ικανοποιούνται και ο χώρος μπορεί να θεωρηθεί ως γραμμικός διανυσματικός χώρος.

4. Το σύνολο όλων των δυνατών συνόλων των n πραγματικών αριθμών. Θα συμβολίσουμε αυτό το σύνολο με . Τα στοιχεία αυτού του συνόλου είναι σύνολα αριθμών.

10.Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων και οι ιδιότητές του

Ως μη γραμμικές πράξεις σε διανύσματα, θεωρούμε το κλιμακωτό γινόμενο και το διανυσματικό γινόμενο, που συναντώνται συχνότερα σε εφαρμογές.

Θα ονομάσουμε τη γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων γωνία που δεν υπερβαίνει το p.

Θα υποδηλώσουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων

Το κλιμακωτό γινόμενο δύο γεωμετρικών διανυσμάτων είναι ένας αριθμός ίσος με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:

Αν, τότε, επειδή ,

αν, τότε, επειδή ,

αν, τότε, επειδή .

α) Θα ονομάσουμε την ορθογώνια προβολή ενός διανύσματος στην κατεύθυνση που καθορίζεται από το διάνυσμα τον αριθμό

β) Ομοίως, ο αριθμός = είναι η ορθογώνια προβολή του διανύσματος στην κατεύθυνση.

Από τον ορισμό του βαθμωτού γινομένου προκύπτει ότι

Συνέπεια.

Το κλιμακωτό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν εάν και μόνο εάν αυτά τα διανύσματα είναι ορθογώνια (η γωνία μεταξύ τους είναι ίση με ).

Ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος.

Ανταλλαγή

1) Συνεταιρισμός

2) Κατανομή ως προς το άθροισμα των διανυσμάτων

4) εάν και εάν

Οι ιδιότητες 1-4 αποδεικνύονται με βάση τις γεωμετρικές ιδιότητες των διανυσμάτων.

Γωνία μεταξύ των διανυσμάτων.

Γνωρίζοντας τα μήκη των διανυσμάτων και το βαθμωτό γινόμενο τους, μπορείτε να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων. Πράγματι, επειδή , Οτι

11. Το διανυσματικό προϊόν και οι ιδιότητές του, υπολογισμός μέσω συντεταγμένων

Το διανυσματικό γινόμενο ενός διανύσματος και ενός διανύσματος είναι ένα διάνυσμα (ας το συμβολίσουμε) που ικανοποιεί τα ακόλουθα συνθήκες.

Ορισμός: Διάνυσμα έργα τέχνηςένα διατεταγμένο ζεύγος διανυσμάτων a και b ονομάζεται διάνυσμα έτσι ώστε

Ιδιότητες ενός διανυσματικού προϊόντος:

Δήλωση 2: Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (βάση Εγώ, ι, κ), α=( x 1, y 1, z 1), b=( x 2, y 2, z 2}

=> [ένα,σι] =

=

12. Μικτό γινόμενο διανυσμάτων.

Ορισμός: Μικτή εργασίαενός διατεταγμένου τριπλού των διανυσμάτων a, b και c λέγεται αριθμός , συμπεριλαμβανομένου =(,γ).

Δήλωση: = V ένα , σι , ντο, αν τα a,b,c είναι ορθό τριπλό ή = -V ένα , σι , ντο, αν τα a,b,c είναι αριστερό τριπλό. Εδώ ο V ένα , σι , ντο– όγκος παραλληλεπίπεδου χτισμένου στα διανύσματα a, b και c. (Αν τα a, b και c είναι ομοεπίπεδα, τότε V a, b, c =0.)

Δήλωση: Σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, εάν a=( x 1, y 1, z 1), b=( x 2, y 2, z 2},

c=( x 3, y 3, z 3}, => = .

Τυπικός ορισμός: "Ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα." Αυτή είναι συνήθως η έκταση της γνώσης ενός πτυχιούχου σχετικά με τους φορείς. Ποιος χρειάζεται κάποια «κατευθυντικά τμήματα»;

Αλλά πραγματικά, τι είναι τα διανύσματα και σε τι χρησιμεύουν;
Δελτίο καιρού. "Άνεμος βορειοδυτικός, ταχύτητα 18 μέτρα ανά δευτερόλεπτο." Συμφωνώ, τόσο η κατεύθυνση του ανέμου (από όπου φυσά) όσο και το μέγεθος (δηλαδή η απόλυτη τιμή) της ταχύτητάς του έχουν σημασία.

Οι ποσότητες που δεν έχουν κατεύθυνση ονομάζονται βαθμωτές. Η μάζα, η εργασία, το ηλεκτρικό φορτίο δεν κατευθύνονται πουθενά. Χαρακτηρίζονται μόνο από μια αριθμητική τιμή - "πόσα κιλά" ή "πόσα joules".

Τα φυσικά μεγέθη που δεν έχουν μόνο απόλυτη τιμή, αλλά και κατεύθυνση, ονομάζονται διανυσματικά μεγέθη.

Ταχύτητα, δύναμη, επιτάχυνση - διανύσματα. Για αυτούς, το «πόσο» είναι σημαντικό και το «που» είναι σημαντικό. Για παράδειγμα, η επιτάχυνση της βαρύτητας κατευθύνεται προς την επιφάνεια της Γης και η τιμή της είναι 9,8 m/s 2. Η ώθηση, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου, η επαγωγή του μαγνητικού πεδίου είναι επίσης διανυσματικά μεγέθη.

Θυμάστε ότι τα φυσικά μεγέθη δηλώνονται με γράμματα, λατινικά ή ελληνικά. Το βέλος πάνω από το γράμμα δείχνει ότι η ποσότητα είναι διανυσματική:

Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα.
Ένα αυτοκίνητο κινείται από το Α στο Β. Το τελικό αποτέλεσμα είναι η μετακίνησή του από το σημείο Α στο σημείο Β, δηλαδή η κίνηση από ένα διάνυσμα .

Τώρα είναι σαφές γιατί ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα. Σημειώστε ότι το τέλος του διανύσματος είναι το βέλος. Διάνυσμα μήκοςονομάζεται μήκος αυτού του τμήματος. Υποδεικνύεται από: ή

Μέχρι τώρα, δουλεύαμε με βαθμωτές ποσότητες, σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής και της στοιχειώδους άλγεβρας. Τα διανύσματα είναι μια νέα έννοια. Αυτή είναι μια άλλη κατηγορία μαθηματικών αντικειμένων. Έχουν τους δικούς τους κανόνες.

Μια φορά κι έναν καιρό δεν ξέραμε τίποτα για αριθμούς. Η γνωριμία μου μαζί τους ξεκίνησε από το δημοτικό. Αποδείχθηκε ότι οι αριθμοί μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους, να προστεθούν, να αφαιρεθούν, να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν. Μάθαμε ότι υπάρχει ένας αριθμός ένα και ένας αριθμός μηδέν.
Τώρα εισάγουμε τα διανύσματα.

Οι έννοιες "περισσότερο" και "λιγότερο" για τα διανύσματα δεν υπάρχουν - τελικά, οι κατευθύνσεις τους μπορεί να είναι διαφορετικές. Μόνο τα διανυσματικά μήκη μπορούν να συγκριθούν.

Υπάρχει όμως η έννοια της ισότητας για τα διανύσματα.
ΙσοςΤα διανύσματα που έχουν το ίδιο μήκος και την ίδια κατεύθυνση ονομάζονται. Αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα μπορεί να μεταφερθεί παράλληλα με τον εαυτό του σε οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου.
Μονόκλινοείναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι 1. Το μηδέν είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι μηδέν, δηλαδή η αρχή του συμπίπτει με το τέλος.

Είναι πιο βολικό να εργάζεστε με διανύσματα σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων - το ίδιο στο οποίο σχεδιάζουμε γραφήματα συναρτήσεων. Κάθε σημείο του συστήματος συντεταγμένων αντιστοιχεί σε δύο αριθμούς - τις συντεταγμένες x και y, την τετμημένη και την τεταγμένη.
Το διάνυσμα καθορίζεται επίσης από δύο συντεταγμένες:

Εδώ οι συντεταγμένες του διανύσματος γράφονται σε παρένθεση - σε x και y.
Βρίσκονται απλά: η συντεταγμένη του τέλους του διανύσματος μείον τη συντεταγμένη της αρχής του.

Εάν δίνονται οι συντεταγμένες του διανύσματος, το μήκος του βρίσκεται από τον τύπο

Διάνυσμα προσθήκη

Υπάρχουν δύο τρόποι για να προσθέσετε διανύσματα.

1 . Κανόνας παραλληλογράμμου. Για να προσθέσουμε τα διανύσματα και , τοποθετούμε την αρχή και των δύο στο ίδιο σημείο. Χτίζουμε μέχρι ένα παραλληλόγραμμο και από το ίδιο σημείο σχεδιάζουμε μια διαγώνιο του παραλληλογράμμου. Αυτό θα είναι το άθροισμα των διανυσμάτων και .

Θυμάστε τον μύθο για τον κύκνο, τις καραβίδες και τους λούτσους; Προσπάθησαν πολύ σκληρά, αλλά δεν κίνησαν ποτέ το κάρο. Εξάλλου, το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που εφάρμοσαν στο καρότσι ήταν ίσο με μηδέν.

2. Ο δεύτερος τρόπος για να προσθέσετε διανύσματα είναι ο κανόνας του τριγώνου. Ας πάρουμε τα ίδια διανύσματα και . Θα προσθέσουμε την αρχή του δεύτερου στο τέλος του πρώτου διανύσματος. Τώρα ας συνδέσουμε την αρχή του πρώτου και το τέλος του δεύτερου. Αυτό είναι το άθροισμα των διανυσμάτων και .

Χρησιμοποιώντας τον ίδιο κανόνα, μπορείτε να προσθέσετε πολλά διανύσματα. Τα τακτοποιούμε το ένα μετά το άλλο και μετά συνδέουμε την αρχή του πρώτου με το τέλος του τελευταίου.

Φανταστείτε ότι πηγαίνετε από το σημείο Α στο σημείο Β, από το Β στο Γ, από το Γ στο Δ, μετά στο Ε και στο ΣΤ. Το τελικό αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών είναι η μετακίνηση από το Α στο ΣΤ.

Όταν προσθέτουμε διανύσματα και παίρνουμε:

Αφαίρεση διάνυσμα

Το διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα. Τα μήκη των διανυσμάτων και είναι ίσα.

Τώρα είναι σαφές τι είναι η διανυσματική αφαίρεση. Η διανυσματική διαφορά και είναι το άθροισμα του διανύσματος και του διανύσματος .

Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό

Όταν ένα διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό k, προκύπτει ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι k φορές διαφορετικό από το μήκος . Είναι συνκατευθυντικό με το διάνυσμα αν το k είναι μεγαλύτερο από μηδέν και αντίθετο αν το k είναι μικρότερο από μηδέν.

Σημείο γινόμενο διανυσμάτων

Τα διανύσματα μπορούν να πολλαπλασιαστούν όχι μόνο με αριθμούς, αλλά και μεταξύ τους.

Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας.

Σημειώστε ότι πολλαπλασιάσαμε δύο διανύσματα και το αποτέλεσμα ήταν ένας βαθμωτός, δηλαδή ένας αριθμός. Για παράδειγμα, στη φυσική, το μηχανικό έργο είναι ίσο με το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων - δύναμη και μετατόπιση:

Αν τα διανύσματα είναι κάθετα, το βαθμωτό γινόμενο τους είναι μηδέν.
Και έτσι εκφράζεται το βαθμωτό γινόμενο μέσω των συντεταγμένων των διανυσμάτων και:

Από τον τύπο για το βαθμωτό γινόμενο μπορείτε να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων:

Αυτή η φόρμουλα είναι ιδιαίτερα βολική στη στερεομετρία. Για παράδειγμα, στο Πρόβλημα 14 του Προφίλ Unified State Exam στα Μαθηματικά, πρέπει να βρείτε τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών ή μεταξύ μιας ευθείας και ενός επιπέδου. Το πρόβλημα 14 λύνεται συχνά πολλές φορές πιο γρήγορα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διανύσματος από ότι χρησιμοποιώντας την κλασική μέθοδο.

Στο σχολικό πρόγραμμα των μαθηματικών διδάσκεται μόνο το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων.
Αποδεικνύεται ότι, εκτός από το βαθμωτό γινόμενο, υπάρχει και ένα διανυσματικό γινόμενο, όταν το αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού δύο διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα. Όποιος δίνει το Unified State Exam στη φυσική ξέρει τι είναι η δύναμη Lorentz και η δύναμη Ampere. Οι τύποι για την εύρεση αυτών των δυνάμεων περιλαμβάνουν διανυσματικά γινόμενα.

Τα διανύσματα είναι ένα πολύ χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο. Αυτό θα το δεις στον πρώτο σου χρόνο.

Σε αυτό το άρθρο θα δούμε τις πράξεις που μπορούν να εκτελεστούν με διανύσματα στο επίπεδο και στο διάστημα. Στη συνέχεια, παραθέτουμε τις ιδιότητες των πράξεων σε διανύσματα και τις αιτιολογούμε χρησιμοποιώντας γεωμετρικές κατασκευές. Θα δείξουμε επίσης τη χρήση των ιδιοτήτων των πράξεων σε διανύσματα κατά την απλοποίηση παραστάσεων που περιέχουν διανύσματα.

Για να αφομοιώσετε καλύτερα το υλικό, συνιστούμε να ανανεώσετε τη μνήμη σας για τις έννοιες που δίνονται στο άρθρο, διανύσματα - βασικοί ορισμοί.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Η πράξη της πρόσθεσης δύο διανυσμάτων είναι ο κανόνας του τριγώνου.

Ας σας δείξουμε πώς συμβαίνει προσθήκη δύο διανυσμάτων.

Η προσθήκη διανυσμάτων γίνεται ως εξής: από ένα αυθαίρετο σημείο Α εναποτίθεται ένα διάνυσμα ίσο με, μετά από ένα σημείο Β εναποτίθεται ένα διάνυσμα ίσο με και το διάνυσμα είναι άθροισμα διανυσμάτων και. Αυτή η μέθοδος προσθήκης δύο διανυσμάτων ονομάζεται κανόνας τριγώνου.

Ας δείξουμε την προσθήκη μη συγγραμμικών διανυσμάτων σε ένα επίπεδο σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου.

Και το παρακάτω σχέδιο δείχνει την προσθήκη συν-κατευθυνόμενων και αντίθετα κατευθυνόμενων διανυσμάτων.

Προσθήκη πολλών διανυσμάτων - κανόνας πολυγώνου.

Με βάση την εξεταζόμενη λειτουργία της προσθήκης δύο διανυσμάτων, μπορούμε να προσθέσουμε τρία ή περισσότερα διανύσματα. Σε αυτή την περίπτωση, τα δύο πρώτα διανύσματα προστίθενται, το τρίτο διάνυσμα προστίθεται στο αποτέλεσμα που προκύπτει, το τέταρτο προστίθεται στο αποτέλεσμα που προκύπτει κ.ο.κ.

Η προσθήκη πολλών διανυσμάτων γίνεται με την ακόλουθη κατασκευή. Από ένα αυθαίρετο σημείο Α ενός επιπέδου ή ενός χώρου, ένα διάνυσμα ίσο με τον πρώτο όρο παραλείπεται, ένα διάνυσμα ίσο με τον δεύτερο όρο αφαιρείται από το άκρο του, ένα διάνυσμα ίσο με τον δεύτερο όρο αφαιρείται από το άκρο του, και σύντομα. Έστω το σημείο Β το τέλος του τελευταίου αναβαλλόμενου διανύσματος. Το άθροισμα όλων αυτών των διανυσμάτων θα είναι το διάνυσμα .

Η προσθήκη πολλών διανυσμάτων σε ένα επίπεδο με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται κανόνας πολυγώνου. Εδώ είναι μια απεικόνιση του κανόνα του πολυγώνου.

Η προσθήκη πολλών διανυσμάτων στο χώρο γίνεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.

Η πράξη του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό.

Τώρα ας καταλάβουμε πώς συμβαίνει πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό.

Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με τον αριθμό kαντιστοιχεί σε διάνυσμα τάνυσης με συντελεστή k για k > 1 ή συμπίεση κατά συντελεστή 0< k < 1 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

Για παράδειγμα, όταν πολλαπλασιάζουμε ένα διάνυσμα με τον αριθμό 2, θα πρέπει να διπλασιάσουμε το μήκος του και να διατηρούμε την ίδια κατεύθυνση, και όταν πολλαπλασιάζουμε ένα διάνυσμα με μείον το ένα τρίτο, να μειώσουμε το μήκος του κατά τρεις φορές και να αλλάξουμε την κατεύθυνση προς την αντίθετη. Ας δώσουμε μια απεικόνιση αυτής της περίπτωσης για σαφήνεια.

Ιδιότητες πράξεων σε διανύσματα.

Έτσι, έχουμε ορίσει την πράξη της πρόσθεσης διανυσμάτων και την πράξη του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό. Επιπλέον, για τυχόν διανύσματα και αυθαίρετους πραγματικούς αριθμούς, τα ακόλουθα μπορούν να δικαιολογηθούν χρησιμοποιώντας γεωμετρικές κατασκευές: ιδιότητες των πράξεων σε διανύσματα. Μερικά από αυτά είναι προφανή.

Οι εξεταζόμενες ιδιότητες μας δίνουν την ευκαιρία να μετασχηματίσουμε διανυσματικές εκφράσεις.

Οι ανταλλάξιμες και συσχετιστικές ιδιότητες της πράξης πρόσθεσης διανυσμάτων σάς επιτρέπουν να προσθέτετε διανύσματα με οποιαδήποτε σειρά.

Δεν υπάρχει λειτουργία αφαίρεσης διανυσμάτων καθαυτή, αφού η διαφορά μεταξύ των διανυσμάτων είναι το άθροισμα των διανυσμάτων και .

Λαμβάνοντας υπόψη τις εξεταζόμενες ιδιότητες των πράξεων σε διανύσματα, μπορούμε να εκτελέσουμε μετασχηματισμούς σε παραστάσεις που περιέχουν αθροίσματα, διαφορές διανυσμάτων και γινόμενα διανυσμάτων κατά αριθμούς με τον ίδιο τρόπο όπως στις αριθμητικές παραστάσεις.

Ας το δούμε με ένα παράδειγμα.