Разложить по степеням х функцию онлайн. Разложение функций в степенные ряды. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора
Изучающим высшую математику должно быть известно, что суммой некоего степенного ряда, принадлежащего интервалу сходимости данного нам ряда, оказывается непрерывное и безграничное число раз дифференцированная функция. Возникает вопрос: можно ли утверждать, что заданная произвольная функция f(х) - это сумма некоего степенного ряда? То есть при каких условиях ф-ия f(х) может быть изображена степенным рядом? Важность такого вопроса состоит в том, что существует возможность приближенно заменить ф-ию f(х) суммой нескольких первых членов степенного ряда, то есть многочленом. Такая замена функции довольно простым выражением - многочленом - является удобной и при решении некоторых задач а именно: при решении интегралов, при вычислении и т. д.
Доказано, что для некой ф-ии f(х), в которой можно вычислить производные до (n+1)-го порядка, включая последний, в окрестности (α - R; x 0 + R) некоторой точки х = α справедливой является формула:
Данная формула носит имя известного ученого Брука Тейлора. Ряд, который получают из предыдущего, называется ряд Маклорена:
Правило, которое дает возможность произвести разложение в ряд Маклорена:
- Определить производные первого, второго, третьего... порядков.
- Высчитать, чему равны производные в х=0.
- Записать ряд Маклорена для данной функции, после чего определить интервал его сходимости.
- Определить интервал (-R;R), где остаточная часть формулы Маклорена
R n (х) -> 0 при n -> бесконечности. В случае если таковой существует, в нем функция f(х) должна совпадать с суммой ряда Маклорена.
Рассмотрим теперь ряды Маклорена для отдельных функций.
1. Итак, первой будет f(x) = е х. Разумеется, что по своим особенностям такая ф-ия имеет производные самых разных порядков, причем f (k) (х) = e x , где k равняется всем Подставим х=0. Получим f (k) (0) = e 0 =1, k=1,2... Исходя из вышесказанного, ряд е х будет выглядеть следующим образом:
2. Ряд Маклорена для функции f(х) = sin х. Сразу же уточним, что ф-ия для всех неизвестных будет иметь производные, к тому же f " (х) = cos х = sin(х+п/2), f "" (х) = -sin х = sin(х+2*п/2)..., f (k) (х) = sin(х+k*п/2), где k равняется любому натуральному числу. То есть, произведя несложные расчеты, можем прийти к выводу, что ряд для f(х) = sin х будет такого вида:
3. Теперь попробуем рассмотреть ф-ию f(х) = cos х. Она для всех неизвестных имеет производные произвольного порядка, причем |f (k) (x)| = |cos(х+k*п/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:
Итак, мы перечислили важнейшие функции, которые могут быть разложены в ряд Маклорена, однако их дополняют ряды Тейлора для некоторых функций. Сейчас мы перечислим и их. Стоит также отметить, что ряды Тейлора и Маклорена являются важной частью практикума решения рядов в высшей математике. Итак, ряды Тейлора.
1. Первым будет ряд для ф-ии f(х) = ln(1+x). Как и в предыдущих примерах, для данной нам f(х) = ln(1+х) можно сложить ряд, используя общий вид ряда Маклорена. однако для этой функции ряд Маклорена можно получить значительно проще. Проинтегрировав некий геометрический ряд, мы получим ряд для f(х) = ln(1+х) такого образца:
2. И вторым, который будет заключительным в нашей статье, будет ряд для f(х) = arctg х. Для х, принадлежащего промежутку [-1;1] справедливым является разложение:
На этом все. В данной статье были рассмотрены наиболее употребляемые ряды Тейлора и Маклорена в высшей математике, в частности, в экономических и технических вузах.
Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.
Оказывается, большинство математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:
При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.
Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:
1)
, где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. R n - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением
2)
k-тый коэффициент (при х k) ряда определяется формулой
3) (разложение происходит вокруг точки а=0)
при a=0
члены ряда определяются по формуле
Условия применения рядов Тейлора.
1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).
2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.
Свойства рядов Тейлора.
- Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.
- Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации (приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.
Изложен метод решения пределов, используя разложение функций в ряд Тейлора. Приводятся применяемые в этом методе свойства о малого и разложения элементарных функций в ряд Маклорена. Подробно разобраны примеры решения пределов, содержащих неопределенности ∞ - ∞, один в степени бесконечность и 0/0.
СодержаниеМетод решения
Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов является разложение функций в степенной ряд Тейлора. Применение этого метода состоит из следующих шагов.
1)
Приводим неопределенность к виду 0/0
при переменной x
,
стремящейся к нулю. Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем замену переменной .
2)
Раскладываем числитель и знаменатель в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0
.
При этом выполняем разложение до такой степени x n
,
которая необходима для устранения неопределенности. Остальные члены включаем в o(x n )
.
Этот метод применим, если после выполнения пункта 1), функции в числителе и знаменателе можно разложить в степенной ряд.
Выполнять разложение сложных функций и произведения функций удобно по следующей схеме. А)
Задаемся показателем степени n
,
до которого мы будем проводить разложение.
Б)
Применяем приведенные ниже формулы разложения функций в ряд Тейлора, сохраняя в них члены до включительно, и отбрасывая члены с при ,
или заменяя их на .
В)
В сложных функциях делаем замены переменных так, чтобы аргумент каждой ее части стремился к нулю при .
Например,
.
Здесь при .
Тогда можно использовать разложение функции в окрестности точки .
Примечание. Разложение функции в ряд Тейлора, в окрестности точки , называется рядом Маклорена . Поэтому для применяемых в наших целях рядов уместны оба названия.
Применяемые свойства о малого
Определение и доказательство свойств о малого приводится на странице: «О большое и о малое. Сравнение функций». Здесь мы приводим свойства, используемые при решении пределов разложением в ряд Маклорена (то есть при ).
Далее m
и n
- натуральные числа, .
;
;
,
если ;
;
;
;
,
где ;
,
где c ≠ 0
- постоянная;
.
Для доказательства этих свойств нужно выразить о малое через бесконечно малую функцию:
,
где .
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
;
;
,
где ;
;
;
,
где - числа Бернулли: ,
;
;
;
;
;
;
;
;
,
;
;
.
Примеры
Пример 1
Вычислить предел последовательности, используя разложение в ряд Тейлора.
.
Это неопределенность вида бесконечность минус бесконечность
. Приводим ее к неопределенности вида 0/0
.
Для этого выполняем преобразования.
.
Здесь мы учли, что номер элемента последовательности n
может принимать только положительные значения. Поэтому .
Делаем замену переменной .
При .
Будем искать предел считая, что x
- действительное число. Если предел существует, то он существует и для любой последовательности ,
сходящейся к нулю. В том числе и для последовательности .
.
Раскладываем функцию в числителе в ряд Тейлора. Применяем формулу:
.
Оставляем только линейный член.
.
.
Здесь мы учли, что поскольку существует двусторонний предел ,
то существуют равные ему односторонние пределы. Поэтому .
Пример 2
Показать, что значение второго замечательного предела можно получить, используя разложение в ряд Тейлора.
Делаем замену переменной .
Тогда .
При .
Подставляем.
.
Для вычисления предела можно считать, что значения переменной t
принадлежат любой, наперед выбранной, проколотой окрестности точки .
Мы полагаем, что .
Используем то, что экспонента и натуральный логарифм являются обратными функциями по отношению друг к другу. Тогда
.
Вычисляем предел в показателе, используя следующее разложение в ряд Тейлора:
.
.
Поскольку экспонента является непрерывной функцией для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.
Пример 3
Вычислить предел, используя разложение в ряд Тейлора.
.
Это неопределенность вида 0/0
.
Используем следующие разложения функций в окрестности точки :
;
;
.
Раскладываем с точностью до квадратичных членов:
;
.
Делим числитель и знаменатель на и находим предел:
.
Пример 4
Решить предел с помощью ряда Тейлора.
.
Легко видеть, что это неопределенность вида 0/0
.
Раскрываем ее, применяя разложения функций в ряд Тейлора. Используем приведенное выше :
(П4.1)
.
В разложении экспоненты, заменим x
на -x
:
(П4.2)
.
Далее, - сложная функция. Сделаем замену переменной .
При .
Поэтому мы можем используем разложение натурального логарифма в окрестности точки .
Используем приведенное выше разложение, в котором переименуем переменную x
в t
:
(П4.3)
.
Заметим, что если бы у нас была функция ,
то при .
Поэтому подставить в предыдущее разложение нельзя, поскольку оно применимо в окрестности точки .
В этом случае нам потребовалось бы выполнить следующее преобразование:
.
Тогда при и мы могли бы применить разложение (П4.3).
Попробуем решить предел, выполняя разложение до первой степени переменной x
:
.
То есть оставляем только постоянные члены, не зависящие от x
:
,
и линейные .
Остальные будем отбрасывать. Точнее переносить в .
;
;
.
Поскольку ,
то в разложении логарифма мы отбрасываем члены, начиная со степени 2. Применяя, приведенные выше свойства о малого имеем:
.
Подставляем в предел:
.
Мы снова получили неопределенность вида 0/0
.
Значит разложения до степени не достаточно.
Если мы выполним разложение до степени ,
то опять получим неопределенность:
.
Выполним разложение до степени .
То есть будем оставлять только постоянные члены и члены с множителями .
Остальные включаем в .
;
;
;
.
Далее замечаем, что .
Поэтому в разложении логарифма нужно отбросить члены, начиная со степени ,
включив их в .
Используем разложение (П4.3), заменив t
на :
.
Подставляем в исходную функцию.
.
Находим предел.
.
Пример 5
Найти предел с помощью ряда Тейлора.
.
Будем проводить разложение числителя и знаменателя в ряд Маклорена до четвертой степени включительно.
Начнем со знаменателя. Используем и .
;
;
.
Теперь переходим к числителю. При .
Поэтому сделать подстановку и применить разложение для нельзя, поскольку это разложение применимо при ,
а у нас .
Заметим, что .
Поэтому выполним преобразование.
.
Теперь можно сделать подстановку ,
поскольку при .
Разложим функцию и ее степени в ряд Тейлора в окрестности точки .
Применяем .
;
;
;
;
;
;
Далее заметим, что .
Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до ,
нам нужно разложить с точностью до .
Раскладываем первый логарифм.
;
;
;
.
Разложим второй логарифм. Приводим его к виду ,
где при .
,
где .
Разложим z
в ряд Тейлора в окрестности точки с точностью до .
Применим :
.
Заменим x
на :
.
Тогда
;
;
Заметим, что .
Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до ,
нам нужно разложить с точностью до .
Раскладываем с точностью до и учитываем, что .
;
.
Находим разложение числителя.
;
;
.
Подставляем разложение числителя и знаменателя и находим предел.
;
.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а , производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а .
Если для некоторого значения х r n ®0 при n ®¥, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х , если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.
При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :
Пример 1 f(x)= 2 x .
Решение . Найдем значения функции и ее производных при х =0
f(x) = 2 x , f(0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2 x ln2, f¢(0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2 x ln 2 2, f¢¢(0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
f (n) (x) = 2 x ln n 2, f (n) (0) = 2 0 ln n 2= ln n 2.
Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:
Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -¥<x <+¥.
Пример 2 х +4) для функции f(x)= e x .
Решение . Находим производные функции e x и их значения в точке х =-4.
f(x) = е x , f(-4) = е -4 ;
f¢(x) = е x , f¢(-4) = е -4 ;
f¢¢(x) = е x , f¢¢(-4) = е -4 ;
f (n) (x) = е x , f (n) ( -4) = е -4 .
Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:
Данное разложение также справедливо для -¥<x <+¥.
Пример 3 . Разложить функцию f(x) =lnx в ряд по степеням (х- 1),
(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х =1).
Решение . Находим производные данной функции.
Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:
С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при
½х- 1½<1. Действительно,
Ряд сходится, если ½х- 1½<1, т.е. при 0<x <2. При х =2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х =0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].
Приведем полученные подобным образом разложения в ряд Маклорена (т.е. в окрестности точки х =0) для некоторых элементарных функций:
(2) ,
(3) ,
(последнее разложение называют биномиальным рядом)
Пример 4 . Разложить в степенной ряд функцию
Решение . В разложении (1) заменяем х на –х 2 , получаем:
Пример 5 . Разложить в ряд Маклорена функцию
Решение . Имеем
Пользуясь формулой (4), можем записать:
подставляя вместо х в формулу –х , получим:
Отсюда находим:
Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим
Этот ряд сходится в интервале
(-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.
Замечание .
Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а ). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а ) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t =х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.
Этот метод иллюстрирует теорему о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.
Пример 6 . Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.
Решение . Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х =3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):
Полученный ряд сходится при или –3<x- 3<3, 0<x < 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Пример 7 . Написать ряд Тейлора по степеням (х -1) функции .
Решение .
Ряд сходится при , или -2 < x £ 5.