Συμβουλές για εγκύους

Απλοποιήστε τη λογαριθμική έκφραση όπου ο λογάριθμος είναι η δύναμη. Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Μετατροπή αριθμητικών παραστάσεων με λογάριθμους

Εύρος αποδεκτών τιμών (APV) του λογαρίθμου

Τώρα ας μιλήσουμε για περιορισμούς (ODZ - το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών των μεταβλητών).

Θυμόμαστε ότι, για παράδειγμα, η τετραγωνική ρίζα δεν μπορεί να ληφθεί από αρνητικούς αριθμούς. ή αν έχουμε κλάσμα, τότε ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι ίσος με μηδέν. Οι λογάριθμοι έχουν παρόμοιους περιορισμούς:

Δηλαδή, τόσο το όρισμα όσο και η βάση πρέπει να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν, αλλά η βάση δεν μπορεί ακόμη να είναι ίση.

Γιατί αυτό?

Ας ξεκινήσουμε με ένα απλό πράγμα: ας το πούμε αυτό. Τότε, για παράδειγμα, ο αριθμός δεν υπάρχει, αφού σε όποια δύναμη και να ανεβάζουμε, πάντα βγαίνει. Επιπλέον, δεν υπάρχει για κανέναν. Αλλά ταυτόχρονα μπορεί να είναι ίσο με οτιδήποτε (για τον ίδιο λόγο - ίσο σε οποιοδήποτε βαθμό). Επομένως, το αντικείμενο δεν παρουσιάζει κανένα ενδιαφέρον και απλώς πετάχτηκε έξω από τα μαθηματικά.

Έχουμε ένα παρόμοιο πρόβλημα στην περίπτωση: σε οποιαδήποτε θετική δύναμη είναι, αλλά δεν μπορεί να ανυψωθεί σε αρνητική ισχύ καθόλου, αφού αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα τη διαίρεση με το μηδέν (να σας το θυμίσω αυτό).

Όταν βρισκόμαστε αντιμέτωποι με το πρόβλημα της αύξησης σε μια κλασματική δύναμη (η οποία αναπαρίσταται ως ρίζα: . Για παράδειγμα, (δηλαδή), αλλά δεν υπάρχει.

Ως εκ τούτου, είναι πιο εύκολο να πετάξετε τους αρνητικούς λόγους παρά να τους πειράξετε.

Λοιπόν, δεδομένου ότι η βάση μας α μπορεί να είναι μόνο θετική, τότε όποια δύναμη κι αν την ανεβάζουμε, θα παίρνουμε πάντα έναν αυστηρά θετικό αριθμό. Άρα το επιχείρημα πρέπει να είναι θετικό. Για παράδειγμα, δεν υπάρχει, αφού δεν θα είναι αρνητικός αριθμός σε κανένα βαθμό (ή ακόμα και μηδέν, άρα και δεν υπάρχει).

Σε προβλήματα με λογάριθμους, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να γράψετε το ODZ. Επιτρέψτε μου να σας δώσω ένα παράδειγμα:

Ας λύσουμε την εξίσωση.

Ας θυμηθούμε τον ορισμό: λογάριθμος είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί ένα όρισμα. Και σύμφωνα με την προϋπόθεση, ο βαθμός αυτός ισούται με: .

Παίρνουμε τη συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση: . Ας το λύσουμε χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta: το άθροισμα των ριζών είναι ίσο και το γινόμενο. Εύκολο στην παραλαβή, αυτοί είναι αριθμοί και.

Αλλά αν πάρετε αμέσως και γράψετε και τους δύο αυτούς αριθμούς στην απάντηση, μπορείτε να πάρετε 0 βαθμούς για το πρόβλημα. Γιατί; Ας σκεφτούμε τι θα συμβεί αν αντικαταστήσουμε αυτές τις ρίζες στην αρχική εξίσωση;

Αυτό είναι σαφώς λανθασμένο, αφού η βάση δεν μπορεί να είναι αρνητική, δηλαδή η ρίζα είναι "τρίτο μέρος".

Για να αποφύγετε τέτοιες δυσάρεστες παγίδες, πρέπει να γράψετε το ODZ ακόμη και πριν αρχίσετε να λύνετε την εξίσωση:

Στη συνέχεια, έχοντας λάβει τις ρίζες και, πετάμε αμέσως τη ρίζα και γράφουμε τη σωστή απάντηση.

Παράδειγμα 1(προσπάθησε να το λύσεις μόνος σου) :

Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης. Εάν υπάρχουν πολλές ρίζες, υποδείξτε τη μικρότερη από αυτές στην απάντησή σας.

Λύση:

Πρώτα απ 'όλα, ας γράψουμε το ODZ:

Τώρα ας θυμηθούμε τι είναι ο λογάριθμος: σε ποια δύναμη χρειάζεστε για να αυξήσετε τη βάση για να λάβετε το όρισμα; Στο δεύτερο. Αυτό είναι:

Φαίνεται ότι η μικρότερη ρίζα είναι ίση. Αλλά αυτό δεν είναι έτσι: σύμφωνα με το ODZ, η ρίζα είναι ξένη, δηλαδή, δεν είναι καθόλου η ρίζα αυτής της εξίσωσης. Έτσι, η εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα: .

Απάντηση: .

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Ας θυμηθούμε τον ορισμό του λογάριθμου σε γενική μορφή:

Ας αντικαταστήσουμε τον λογάριθμο με τη δεύτερη ισότητα:

Αυτή η ισότητα ονομάζεται βασική λογαριθμική ταυτότητα. Αν και στην ουσία αυτό είναι ισότητα - απλώς γράφεται διαφορετικά ορισμός του λογάριθμου:

Αυτή είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξήσετε για να φτάσετε.

Για παράδειγμα:

Λύστε τα παρακάτω παραδείγματα:

Παράδειγμα 2.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Λύση:

Ας θυμηθούμε τον κανόνα από την ενότητα:, δηλαδή, όταν ανεβάζουμε μια δύναμη σε δύναμη, οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται. Ας το εφαρμόσουμε:

Παράδειγμα 3.

Αποδείξτε το.

Λύση:

Ιδιότητες λογαρίθμων

Δυστυχώς, οι εργασίες δεν είναι πάντα τόσο απλές - συχνά πρέπει πρώτα να απλοποιήσετε την έκφραση, να τη φέρετε στη συνηθισμένη της μορφή και μόνο τότε θα είναι δυνατός ο υπολογισμός της τιμής. Αυτό είναι πιο εύκολο να το κάνετε αν γνωρίζετε ιδιότητες των λογαρίθμων. Ας μάθουμε λοιπόν τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Θα αποδείξω το καθένα από αυτά, γιατί οποιοσδήποτε κανόνας είναι πιο εύκολο να θυμηθείς αν ξέρεις από πού προέρχεται.

Όλες αυτές οι ιδιότητες πρέπει να θυμόμαστε· χωρίς αυτές, τα περισσότερα προβλήματα με τους λογάριθμους δεν μπορούν να λυθούν.

Και τώρα για όλες τις ιδιότητες των λογαρίθμων με περισσότερες λεπτομέρειες.

Ιδιοκτησία 1:

Απόδειξη:

Ας είναι τότε.

Έχουμε: , κ.λπ.

Ιδιότητα 2: Άθροισμα λογαρίθμων

Το άθροισμα των λογαρίθμων με τις ίδιες βάσεις είναι ίσο με το λογάριθμο του γινομένου: .

Απόδειξη:

Ας είναι τότε. Ας είναι τότε.

Παράδειγμα:Βρείτε τη σημασία της έκφρασης: .

Λύση: .

Ο τύπος που μόλις μάθατε βοηθά στην απλοποίηση του αθροίσματος των λογαρίθμων και όχι της διαφοράς, επομένως αυτοί οι λογάριθμοι δεν μπορούν να συνδυαστούν αμέσως. Αλλά μπορείτε να κάνετε το αντίθετο - «διαχωρίστε» τον πρώτο λογάριθμο στα δύο: Και εδώ είναι η υποσχεμένη απλοποίηση:
.
Γιατί είναι απαραίτητο αυτό; Λοιπόν, για παράδειγμα: τι ισούται;

Τώρα είναι φανερό ότι.

Τώρα απλοποιήστε το μόνοι σας:

Καθήκοντα:

Απαντήσεις:

Ιδιότητα 3: Διαφορά λογαρίθμων:

Απόδειξη:

Όλα είναι ακριβώς τα ίδια όπως στο σημείο 2:

Ας είναι τότε.

Ας είναι τότε. Εχουμε:

Το παράδειγμα από την προηγούμενη παράγραφο γίνεται τώρα ακόμα πιο απλό:

Ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα: . Μπορείτε να βρείτε πώς να το λύσετε μόνοι σας;

Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι δεν έχουμε έναν ενιαίο τύπο για τους λογάριθμους στο τετράγωνο. Αυτό είναι κάτι παρόμοιο με μια έκφραση - δεν μπορεί να απλοποιηθεί αμέσως.

Επομένως, ας κάνουμε ένα διάλειμμα από τους τύπους για τους λογάριθμους και ας σκεφτούμε τι είδους τύπους χρησιμοποιούμε πιο συχνά στα μαθηματικά; Από την 7η δημοτικού!

Αυτό - . Πρέπει να συνηθίσεις το γεγονός ότι υπάρχουν παντού! Εμφανίζονται σε εκθετικά, τριγωνομετρικά και παράλογα προβλήματα. Επομένως, πρέπει να θυμόμαστε.

Αν κοιτάξετε προσεκτικά τους δύο πρώτους όρους, γίνεται σαφές ότι αυτό διαφορά τετραγώνων:

Απάντηση για έλεγχο:

Απλοποιήστε το μόνοι σας.

Παραδείγματα

Απαντήσεις.

Ιδιότητα 4: Αφαίρεση του εκθέτη από το όρισμα του λογάριθμου:

Απόδειξη:Και εδώ χρησιμοποιούμε επίσης τον ορισμό του λογάριθμου: ας, τότε. Έχουμε: , κ.λπ.

Αυτός ο κανόνας μπορεί να γίνει κατανοητός ως εξής:

Δηλαδή, ο βαθμός του επιχειρήματος μετακινείται μπροστά από τον λογάριθμο ως συντελεστής.

Παράδειγμα:Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Λύση: .

Αποφασίστε μόνοι σας:

Παραδείγματα:

Απαντήσεις:

Ιδιότητα 5: Λαμβάνοντας τον εκθέτη από τη βάση του λογαρίθμου:

Απόδειξη:Ας είναι τότε.

Έχουμε: , κ.λπ.
Θυμηθείτε: από λόγουςο βαθμός εκφράζεται ως το αντίθετονούμερο, σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση!

Ιδιότητα 6: Αφαίρεση του εκθέτη από τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου:

Ή αν οι βαθμοί είναι ίδιοι: .

Ιδιότητα 7: Μετάβαση σε νέα βάση:

Απόδειξη:Ας είναι τότε.

Έχουμε: , κ.λπ.

Ιδιότητα 8: Αλλάξτε τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου:

Απόδειξη:Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του τύπου 7: αν αντικαταστήσουμε, παίρνουμε: , κ.λπ.

Ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα.

Παράδειγμα 4.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των λογαρίθμων Νο. 2 - το άθροισμα των λογαρίθμων με την ίδια βάση είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου:

Παράδειγμα 5.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Λύση:

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των λογαρίθμων Νο. 3 και Νο. 4:

Παράδειγμα 6.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Λύση:

Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα Νο. 7 - προχωρήστε στη βάση 2:

Παράδειγμα 7.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης.

Λύση:

Πώς σας φαίνεται το άρθρο;

Εάν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, τότε έχετε διαβάσει ολόκληρο το άρθρο.

Και αυτό είναι ωραίο!

Τώρα πείτε μας πώς σας αρέσει το άρθρο;

Έχετε μάθει πώς να λύνετε λογάριθμους; Αν όχι, ποιο είναι το πρόβλημα;

Γράψτε μας στα σχόλια παρακάτω.

Και, ναι, καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας.

Στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και στη ζωή γενικότερα

Το πρόβλημα Β7 δίνει κάποια έκφραση που πρέπει να απλοποιηθεί. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ένας κανονικός αριθμός που μπορεί να γραφτεί στο φύλλο απαντήσεών σας. Όλες οι εκφράσεις χωρίζονται συμβατικά σε τρεις τύπους:

Λογαριθμική,
Ενδεικτικός,
Σε συνδυασμό.

Εκθετικές και λογαριθμικές εκφράσεις στην καθαρή τους μορφή πρακτικά δεν βρίσκονται ποτέ. Ωστόσο, είναι απολύτως απαραίτητο να γνωρίζουμε πώς υπολογίζονται.

Γενικά, το πρόβλημα Β7 λύνεται πολύ απλά και είναι αρκετά εντός των δυνατοτήτων του μέσου πτυχιούχου. Η έλλειψη σαφών αλγορίθμων αντισταθμίζεται από την τυποποίηση και τη μονοτονία του. Μπορείτε να μάθετε να λύνετε τέτοια προβλήματα απλά μέσω πολλής εκπαίδευσης.

Λογαριθμικές εκφράσεις

Η συντριπτική πλειοψηφία των προβλημάτων Β7 περιλαμβάνει λογάριθμους με τη μια ή την άλλη μορφή. Αυτό το θέμα θεωρείται παραδοσιακά δύσκολο, αφού η μελέτη του γίνεται συνήθως στην 11η τάξη - την εποχή της μαζικής προετοιμασίας για τις τελικές εξετάσεις. Ως αποτέλεσμα, πολλοί απόφοιτοι έχουν μια πολύ ασαφή κατανόηση των λογαρίθμων.

Αλλά σε αυτό το έργο κανείς δεν απαιτεί βαθιά θεωρητική γνώση. Θα συναντήσουμε μόνο τις απλούστερες εκφράσεις που απαιτούν απλό συλλογισμό και μπορούν εύκολα να κατακτηθούν ανεξάρτητα. Παρακάτω είναι οι βασικοί τύποι που πρέπει να γνωρίζετε για να αντιμετωπίσετε τους λογάριθμους:

Επιπλέον, πρέπει να μπορείτε να αντικαταστήσετε τις ρίζες και τα κλάσματα με δυνάμεις με έναν λογικό εκθέτη, διαφορετικά σε ορισμένες εκφράσεις δεν θα υπάρχει τίποτα να αφαιρέσετε κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου. Τύποι αντικατάστασης:

Εργο. Βρείτε τη σημασία των εκφράσεων:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

Οι δύο πρώτες εκφράσεις μετατρέπονται ως διαφορά λογαρίθμων:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3.

Για να υπολογίσετε την τρίτη έκφραση, θα πρέπει να απομονώσετε δυνάμεις - τόσο στη βάση όσο και στο όρισμα. Αρχικά, ας βρούμε τον εσωτερικό λογάριθμο:

Στη συνέχεια - εξωτερικό:

Οι κατασκευές της φόρμας log a log b x φαίνονται σύνθετες και παρεξηγημένες σε πολλούς. Εν τω μεταξύ, αυτός είναι απλώς ένας λογάριθμος του λογάριθμου, δηλ. log a (log b x ). Αρχικά υπολογίζεται ο εσωτερικός λογάριθμος (βάλε log b x = c) και μετά ο εξωτερικός: log a c.

Επιδεικτικές Εκφράσεις

Θα ονομάσουμε εκθετική έκφραση κάθε κατασκευή της μορφής k, όπου οι αριθμοί a και k είναι αυθαίρετες σταθερές, και a > 0. Οι μέθοδοι εργασίας με τέτοιες εκφράσεις είναι αρκετά απλές και συζητούνται στα μαθήματα άλγεβρας της 8ης τάξης.

Παρακάτω είναι οι βασικοί τύποι που πρέπει οπωσδήποτε να γνωρίζετε. Η εφαρμογή αυτών των τύπων στην πράξη, κατά κανόνα, δεν προκαλεί προβλήματα.

a n · a m = a n + m ;
a n / a m = a n − m ;
(a n ) m = a n · m ;
(a · b ) n = a n · b n ;
(a : b ) n = a n : b n .

Εάν συναντήσετε μια σύνθετη έκφραση με δυνάμεις και δεν είναι σαφές πώς να την προσεγγίσετε, χρησιμοποιήστε μια καθολική τεχνική - αποσύνθεση σε απλούς παράγοντες. Ως αποτέλεσμα, μεγάλοι αριθμοί στις βάσεις των εξουσιών αντικαθίστανται από απλά και κατανοητά στοιχεία. Τότε το μόνο που μένει είναι να εφαρμόσετε τους παραπάνω τύπους - και το πρόβλημα θα λυθεί.

Εργο. Βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

Λύση. Ας αποσυνθέσουμε όλες τις βάσεις των δυνάμεων σε απλούς παράγοντες:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Συνδυασμένες εργασίες

Εάν γνωρίζετε τους τύπους, τότε όλες οι εκθετικές και λογαριθμικές παραστάσεις μπορούν να λυθούν κυριολεκτικά σε μία γραμμή. Ωστόσο, στο πρόβλημα Β7 δυνάμεις και λογάριθμοι μπορούν να συνδυαστούν για να σχηματίσουν αρκετά ισχυρούς συνδυασμούς.

κύριες ιδιότητες.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = λογάριθμος (x: y).

πανομοιότυπους λόγους

Log6 4 + log6 9.

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο.

Παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων

Τι γίνεται αν η βάση ή το όρισμα ενός λογαρίθμου είναι δύναμη; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί το ODZ του λογαρίθμου: a > 0, a ≠ 1, x >

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Μετάβαση σε νέα βάση

Ας δοθεί ο λογάριθμος λογάριθμος. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Δείτε επίσης:

Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα, θα γνωρίζετε τόσο την ακριβή τιμή του εκθέτη όσο και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Παραδείγματα λογαρίθμων

Λογαρίθμες εκφράσεις

Παράδειγμα 1.
ΕΝΑ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Χρησιμοποιώντας ιδιότητες 3.5 υπολογίζουμε

Παράδειγμα 2. Βρείτε το x αν

Παράδειγμα 3. Έστω η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετασχηματιστούν με κάθε τρόπο. Αλλά επειδή οι λογάριθμοι δεν είναι ακριβώς συνηθισμένοι αριθμοί, υπάρχουν κανόνες εδώ, οι οποίοι καλούνται κύριες ιδιότητες.

Πρέπει οπωσδήποτε να γνωρίζετε αυτούς τους κανόνες - χωρίς αυτούς, δεν μπορεί να λυθεί ούτε ένα σοβαρό λογαριθμικό πρόβλημα. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - μπορείτε να μάθετε τα πάντα σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

Θεωρήστε δύο λογάριθμους με τις ίδιες βάσεις: λογάξ και λογάριθμο. Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = λογάριθμος (x: y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ίση με τον λογάριθμο του πηλίκου. Παρακαλώ σημειώστε: το βασικό σημείο εδώ είναι πανομοιότυπους λόγους. Εάν οι λόγοι είναι διαφορετικοί, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Αυτοί οι τύποι θα σας βοηθήσουν να υπολογίσετε μια λογαριθμική παράσταση ακόμα και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα επιμέρους μέρη της (δείτε το μάθημα «Τι είναι ο λογάριθμος»). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Επειδή οι λογάριθμοι έχουν τις ίδιες βάσεις, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν υπολογίζονται χωριστά. Όμως μετά τους μετασχηματισμούς προκύπτουν εντελώς κανονικοί αριθμοί. Πολλά τεστ βασίζονται σε αυτό το γεγονός. Ναι, οι εκφράσεις που μοιάζουν με τεστ προσφέρονται με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές χωρίς σχεδόν καμία αλλαγή) στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους.

Εξαγωγή του εκθέτη από τον λογάριθμο

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τους δύο πρώτους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμάστε ούτως ή άλλως - σε ορισμένες περιπτώσεις θα μειώσει σημαντικά τον αριθμό των υπολογισμών.

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί το ODZ του λογαρίθμου: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα , δηλ. Μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το σύμβολο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο. Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα χρησιμοποιώντας τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής περιέχει έναν λογάριθμο, η βάση και το όρισμα του οποίου είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 24; 49 = 72. Έχουμε:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα απαιτεί κάποια διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή.

Τύποι λογαρίθμων. Παραδείγματα λογαρίθμων λύσεων.

Παρουσιάσαμε τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή δυνάμεων και βγάλαμε τους εκθέτες - πήραμε ένα κλάσμα "τριώροφο".

Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν τον ίδιο αριθμό: log2 7. Επειδή log2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, πράγμα που έγινε. Το αποτέλεσμα ήταν η απάντηση: 2.

Μετάβαση σε νέα βάση

Μιλώντας για τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης λογαρίθμων, τόνισα συγκεκριμένα ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Κι αν οι λόγοι είναι διαφορετικοί; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς δυνάμεις του ίδιου αριθμού;

Οι φόρμουλες για τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο έρχονται στη διάσωση. Ας τα διατυπώσουμε με τη μορφή ενός θεωρήματος:

Συγκεκριμένα, αν θέσουμε c = x, παίρνουμε:

Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι η βάση και το όρισμα του λογάριθμου μπορούν να αντικατασταθούν, αλλά σε αυτήν την περίπτωση ολόκληρη η έκφραση "αναποδογυρίζεται", δηλ. ο λογάριθμος εμφανίζεται στον παρονομαστή.

Αυτοί οι τύποι βρίσκονται σπάνια σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογηθεί πόσο βολικές είναι μόνο όταν επιλύονται λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Ωστόσο, υπάρχουν προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν καθόλου παρά μόνο με τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο. Ας δούμε μερικά από αυτά:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων περιέχουν ακριβείς δυνάμεις. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Τώρα ας «αντιστρέψουμε» τον δεύτερο λογάριθμο:

Δεδομένου ότι το γινόμενο δεν αλλάζει κατά την αναδιάταξη των παραγόντων, πολλαπλασιάσαμε ήρεμα τέσσερα και δύο και στη συνέχεια ασχοληθήκαμε με τους λογάριθμους.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Η βάση και το όρισμα του πρώτου λογάριθμου είναι ακριβείς δυνάμεις. Ας το γράψουμε αυτό και ας απαλλαγούμε από τους δείκτες:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Συχνά στη διαδικασία επίλυσης είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε έναν αριθμό ως λογάριθμο σε μια δεδομένη βάση. Σε αυτήν την περίπτωση, οι παρακάτω τύποι θα μας βοηθήσουν:

Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός n γίνεται ο εκθέτης στο όρισμα. Ο αριθμός n μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς μια λογαριθμική τιμή.

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Έτσι λέγεται: .

Στην πραγματικότητα, τι συμβαίνει αν ο αριθμός b αυξηθεί σε τέτοια δύναμη που ο αριθμός b σε αυτή τη δύναμη να δώσει τον αριθμό a; Αυτό είναι σωστό: το αποτέλεσμα είναι ο ίδιος αριθμός α. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι κολλάνε σε αυτήν.

Όπως οι τύποι για τη μετάβαση σε μια νέα βάση, η βασική λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Σημειώστε ότι log25 64 = log5 8 - απλά πήρε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογαρίθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:

Αν κάποιος δεν ξέρει, αυτή ήταν μια πραγματική εργασία από την Ενιαία Κρατική Εξέταση :)

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

Εν κατακλείδι, θα δώσω δύο ταυτότητες που δύσκολα μπορούν να ονομαστούν ιδιότητες - μάλλον είναι συνέπειες του ορισμού του λογαρίθμου. Εμφανίζονται συνεχώς σε προβλήματα και, παραδόξως, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και σε «προχωρημένους» μαθητές.

λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση α αυτής της ίδιας της βάσης είναι ίσος με ένα.
λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα περιέχει ένα, ο λογάριθμος είναι ίσος με μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Αυτά είναι όλα τα ακίνητα. Φροντίστε να εξασκηθείτε στην εφαρμογή τους! Κατεβάστε το cheat sheet στην αρχή του μαθήματος, εκτυπώστε το και λύστε τα προβλήματα.

Δείτε επίσης:

Ο λογάριθμος του b για τη βάση του a δηλώνει την παράσταση. Για να υπολογίσετε τον λογάριθμο σημαίνει να βρείτε μια ισχύ x () στην οποία η ισότητα ικανοποιείται

Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις παραπάνω ιδιότητες, αφού όλα σχεδόν τα προβλήματα και τα παραδείγματα που σχετίζονται με τους λογάριθμους επιλύονται με βάση τους. Οι υπόλοιπες εξωτικές ιδιότητες μπορούν να προκύψουν μέσω μαθηματικών χειρισμών με αυτούς τους τύπους

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Κατά τον υπολογισμό του τύπου για το άθροισμα και τη διαφορά των λογαρίθμων (3.4) συναντάτε αρκετά συχνά. Τα υπόλοιπα είναι κάπως περίπλοκα, αλλά σε μια σειρά εργασιών είναι απαραίτητα για την απλοποίηση σύνθετων εκφράσεων και τον υπολογισμό των τιμών τους.

Συνήθεις περιπτώσεις λογαρίθμων

Μερικοί από τους κοινούς λογάριθμους είναι εκείνοι στους οποίους η βάση είναι ακόμη δέκα, εκθετική ή δύο.
Ο λογάριθμος στη βάση δέκα ονομάζεται συνήθως δεκαδικός λογάριθμος και συμβολίζεται απλώς με lg(x).

Είναι σαφές από την ηχογράφηση ότι τα βασικά δεν γράφονται στην ηχογράφηση. Για παράδειγμα

Ένας φυσικός λογάριθμος είναι ένας λογάριθμος του οποίου η βάση είναι ένας εκθέτης (που συμβολίζεται με ln(x)).

Ο εκθέτης είναι 2,718281828…. Για να θυμάστε τον εκθέτη, μπορείτε να μελετήσετε τον κανόνα: ο εκθέτης είναι ίσος με 2,7 και διπλάσιο από το έτος γέννησης του Λέοντος Νικολάεβιτς Τολστόι. Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα, θα γνωρίζετε τόσο την ακριβή τιμή του εκθέτη όσο και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Και ένας άλλος σημαντικός λογάριθμος για τη βάση δύο συμβολίζεται με

Η παράγωγος του λογάριθμου μιας συνάρτησης είναι ίση με ένα διαιρούμενο με τη μεταβλητή

Ο ολοκληρωτικός ή αντιπαράγωγος λογάριθμος καθορίζεται από τη σχέση

Το δεδομένο υλικό είναι αρκετό για να λύσετε μια ευρεία κατηγορία προβλημάτων που σχετίζονται με λογάριθμους και λογάριθμους. Για να σας βοηθήσω να κατανοήσετε το υλικό, θα δώσω μόνο μερικά κοινά παραδείγματα από το σχολικό πρόγραμμα και τα πανεπιστήμια.

Παραδείγματα λογαρίθμων

Λογαρίθμες εκφράσεις

Παράδειγμα 1.
ΕΝΑ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Χρησιμοποιώντας ιδιότητες 3.5 υπολογίζουμε

2.
Με την ιδιότητα διαφοράς λογαρίθμων έχουμε

3.
Χρησιμοποιώντας ιδιότητες 3.5 βρίσκουμε

Μια φαινομενικά πολύπλοκη έκφραση απλοποιείται για να σχηματιστεί χρησιμοποιώντας έναν αριθμό κανόνων

Εύρεση λογαριθμικών τιμών

Παράδειγμα 2. Βρείτε το x αν

Λύση. Για τον υπολογισμό, εφαρμόζουμε στον τελευταίο όρο 5 και 13 ιδιότητες

Το βάζουμε σε δίσκο και θρηνούμε

Εφόσον οι βάσεις είναι ίσες, εξισώνουμε τις εκφράσεις

Λογάριθμοι. Πρώτο επίπεδο.

Ας δοθεί η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν

Λύση: Ας πάρουμε έναν λογάριθμο της μεταβλητής για να γράψουμε τον λογάριθμο μέσω του αθροίσματος των όρων της

Αυτή είναι μόνο η αρχή της γνωριμίας μας με τους λογάριθμους και τις ιδιότητές τους. Εξασκηθείτε στους υπολογισμούς, εμπλουτίστε τις πρακτικές σας δεξιότητες - σύντομα θα χρειαστείτε τις γνώσεις που αποκτάτε για να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις. Έχοντας μελετήσει τις βασικές μεθόδους για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, θα επεκτείνουμε τις γνώσεις σας σε ένα άλλο εξίσου σημαντικό θέμα - τις λογαριθμικές ανισότητες...

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = λογάριθμος (x: y).

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log6 4 + log6 9.

Επειδή οι λογάριθμοι έχουν τις ίδιες βάσεις, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Εξαγωγή του εκθέτη από τον λογάριθμο

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο. Τι γίνεται αν η βάση ή το όρισμα ενός λογαρίθμου είναι δύναμη; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Πώς να λύσετε λογάριθμους

Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα χρησιμοποιώντας τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα απαιτεί κάποια διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή. Παρουσιάσαμε τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή δυνάμεων και βγάλαμε τους εκθέτες - πήραμε ένα κλάσμα "τριώροφο".

Μετάβαση σε νέα βάση

Συγκεκριμένα, αν θέσουμε c = x, παίρνουμε:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Τώρα ας «αντιστρέψουμε» τον δεύτερο λογάριθμο:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Έτσι λέγεται: .

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Αν κάποιος δεν ξέρει, αυτή ήταν μια πραγματική εργασία από την Ενιαία Κρατική Εξέταση :)

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση α αυτής της ίδιας της βάσης είναι ίσος με ένα.
λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα περιέχει ένα, ο λογάριθμος είναι ίσος με μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Εργασίες των οποίων η λύση είναι μετατροπή λογαριθμικών παραστάσεων, είναι αρκετά κοινά στην Ενιαία Κρατική Εξέταση.

Για να τα αντιμετωπίσετε επιτυχώς με ελάχιστο χρόνο, εκτός από τις βασικές λογαριθμικές ταυτότητες, θα πρέπει να γνωρίζετε και να χρησιμοποιείτε σωστά μερικούς ακόμη τύπους.

Αυτό είναι: a log a b = b, όπου a, b > 0, a ≠ 1 (Απάγεται απευθείας από τον ορισμό του λογάριθμου).

log a b = log c b / log c a ή log a b = 1/log b a
όπου a, b, c > 0; α, γ ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |β|
όπου a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

α ημερολόγιο c b = b ημερολόγιο c α
όπου a, b, c > 0 και a, b, c ≠ 1

Για να δείξουμε την εγκυρότητα της τέταρτης ισότητας, ας πάρουμε τον λογάριθμο της αριστερής και της δεξιάς πλευράς στη βάση α. Παίρνουμε log a (a log με b) = log a (b log με a) ή log με b = log με a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); log με b = log με β.

Έχουμε αποδείξει την ισότητα των λογαρίθμων, που σημαίνει ότι οι εκφράσεις κάτω από τους λογάριθμους είναι επίσης ίσες. Η Formula 4 έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα 1.

Υπολογίστε 81 log 27 5 log 5 4 .

Λύση.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Επομένως,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Τότε 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Μπορείτε να ολοκληρώσετε την παρακάτω εργασία μόνοι σας.

Υπολογίστε (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.

Ως υπόδειξη, 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0,2 5 = -1.

Απάντηση: 5.

Παράδειγμα 2.

Υπολογισμός (√11) κούτσουρο √3 9- log 121 81 .

Λύση.

Ας αλλάξουμε τις εκφράσεις: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (χρησιμοποιήθηκε ο τύπος 3).

Στη συνέχεια (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Παράδειγμα 3.

Υπολογίστε το ημερολόγιο 2 24 / ημερολόγιο 96 2 - ημερολόγιο 2 192 / ημερολόγιο 12 2.

Λύση.

Αντικαθιστούμε τους λογάριθμους που περιέχονται στο παράδειγμα με λογάριθμους με βάση 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Στη συνέχεια log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + ημερολόγιο 2 3)) =

= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

Αφού ανοίξουμε τις παρενθέσεις και φέρουμε παρόμοιους όρους, παίρνουμε τον αριθμό 3. (Όταν απλοποιούμε την παράσταση, μπορούμε να συμβολίσουμε το log 2 3 με n και να απλοποιήσουμε την παράσταση

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Απάντηση: 3.

Μπορείτε να ολοκληρώσετε μόνοι σας την παρακάτω εργασία:

Υπολογισμός (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Εδώ είναι απαραίτητο να γίνει η μετάβαση σε λογάριθμους βάσης 3 και παραγοντοποίηση μεγάλων αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Απάντηση: 1/2

Παράδειγμα 4.

Δίνονται τρεις αριθμοί A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Τοποθετήστε τους σε αύξουσα σειρά.

Λύση.

Ας μετατρέψουμε τους αριθμούς A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.

Ας τα συγκρίνουμε

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 και log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Ή 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Απάντηση. Επομένως, η σειρά τοποθέτησης των αριθμών είναι: C; ΕΝΑ; ΣΕ.

Παράδειγμα 5.

Πόσοι ακέραιοι αριθμοί υπάρχουν στο διάστημα (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Λύση.

Ας προσδιορίσουμε ανάμεσα σε ποιες δυνάμεις του αριθμού 3 βρίσκεται ο αριθμός 1/16. Παίρνουμε 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Εφόσον η συνάρτηση y = log 3 x αυξάνεται, τότε το log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Ας συγκρίνουμε το αρχείο καταγραφής 6 (4/3) και 1/5. Και για αυτό συγκρίνουμε τους αριθμούς 4/3 και 6 1/5. Ας ανεβάσουμε και τους δύο αριθμούς στην 5η δύναμη. Παίρνουμε (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

ημερολόγιο 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Επομένως, το διάστημα (log 3 1 / 16 ; log 6 48) περιλαμβάνει το διάστημα [-2; 4] και οι ακέραιοι -2 τοποθετούνται σε αυτό. -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Απάντηση: 7 ακέραιοι.

Παράδειγμα 6.

Υπολογίστε 3 lglg 2 / lg 3 - lg20.

Λύση.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Τότε 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.

Απάντηση: -1.

Παράδειγμα 7.

Είναι γνωστό ότι log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Βρείτε το log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).

Λύση.

Αριθμοί (√3 + 1) και (√3 – 1); (√6 – 2) και (√6 + 2) είναι συζυγή.

Ας πραγματοποιήσουμε τον ακόλουθο μετασχηματισμό των εκφράσεων

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

Στη συνέχεια log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Μητρώο 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.

Απάντηση: 2 – Α.

Παράδειγμα 8.

Απλοποιήστε και βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή της παράστασης (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Λύση.

Ας ανάγουμε όλους τους λογάριθμους σε μια κοινή βάση 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Η κατά προσέγγιση τιμή του lg 2 μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα, έναν κανόνα διαφανειών ή μια αριθμομηχανή).

Απάντηση: 0,3010.

Παράδειγμα 9.

Υπολογίστε το log a 2 b 3 √(a 11 b -3) εάν το log √ a b 3 = 1. (Σε αυτό το παράδειγμα, το a 2 b 3 είναι η βάση του λογαρίθμου).

Λύση.

Αν log √ a b 3 = 1, τότε 3/(0,5 log a b = 1. Και log a b = 1/6.

Στη συνέχεια καταγράψτε a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Λαμβάνοντας υπόψη ότι αυτό το log a b = 1/ 6 παίρνουμε (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.

Απάντηση: 2.1.

Μπορείτε να ολοκληρώσετε μόνοι σας την παρακάτω εργασία:

Υπολογίστε το log √3 6 √2,1 εάν το log 0,7 27 = a.

Απάντηση: (3 + α) / (3α).

Παράδειγμα 10.

Υπολογίστε 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.

Λύση.

6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (τύπος 4))

Παίρνουμε 9 + 6 = 15.

Απάντηση: 15.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν είστε σίγουροι πώς να βρείτε την τιμή μιας λογαριθμικής παράστασης;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

Θεωρήστε δύο λογάριθμους με τις ίδιες βάσεις: log ένα Χκαι ημερολόγιο ένα y. Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:

κούτσουρο ένα Χ+ ημερολόγιο ένα y= κούτσουρο ένα (Χ · y);
κούτσουρο ένα Χ− ημερολόγιο ένα y= κούτσουρο ένα (Χ : y).

Αυτοί οι τύποι θα σας βοηθήσουν να υπολογίσετε μια λογαριθμική παράσταση ακόμα και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα μεμονωμένα μέρη της (βλ. μάθημα «Τι είναι λογάριθμος»). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Μητρώο 6 4 + ημερολόγιο 6 9.

Επειδή οι λογάριθμοι έχουν τις ίδιες βάσεις, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 2 48 − log 2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 3 135 − log 3 5.

Και πάλι οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Εξαγωγή του εκθέτη από τον λογάριθμο

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα εάν τηρηθεί το ODZ του λογαρίθμου: ένα > 0, ένα ≠ 1, Χ> 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα, π.χ. Μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το σύμβολο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο. Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 7 49 6 .

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα χρησιμοποιώντας τον πρώτο τύπο:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:
[Λεζάντα για την εικόνα]

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής περιέχει έναν λογάριθμο, η βάση και το όρισμα του οποίου είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Εχουμε:

[Λεζάντα για την εικόνα]

Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν τον ίδιο αριθμό: log 2 7. Εφόσον το log 2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, πράγμα που έγινε. Το αποτέλεσμα ήταν η απάντηση: 2.

Μετάβαση σε νέα βάση

Αφήστε το αρχείο καταγραφής λογαρίθμου να δοθεί ένα Χ. Στη συνέχεια για οποιοδήποτε αριθμό ντοτέτοια που ντο> 0 και ντο≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:
[Λεζάντα για την εικόνα]
Συγκεκριμένα, αν βάλουμε ντο = Χ, παίρνουμε:
[Λεζάντα για την εικόνα]

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 5 16 log 2 25.

Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων περιέχουν ακριβείς δυνάμεις. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Τώρα ας «αντιστρέψουμε» τον δεύτερο λογάριθμο:

[Λεζάντα για την εικόνα]

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 9 100 lg 3.

[Λεζάντα για την εικόνα]

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

[Λεζάντα για την εικόνα]

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός nγίνεται δείκτης του βαθμού που βρίσκεται στο επιχείρημα. Αριθμός nμπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς μια λογαριθμική τιμή.

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Αυτό ονομάζεται: η βασική λογαριθμική ταυτότητα.

Στην πραγματικότητα, τι θα συμβεί εάν ο αριθμός σιαυξήσει σε τέτοια δύναμη ώστε ο αριθμός σισε αυτή τη δύναμη δίνει τον αριθμό ένα? Αυτό είναι σωστό: παίρνετε τον ίδιο αριθμό ένα. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι κολλάνε σε αυτήν.

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:
[Λεζάντα για την εικόνα]

Σημειώστε ότι το log 25 64 = log 5 8 - απλά πήρε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογαρίθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:

[Λεζάντα για την εικόνα]

Αν κάποιος δεν ξέρει, αυτό ήταν μια πραγματική εργασία από την Ενιαία Κρατική Εξέταση :)

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

κούτσουρο ένα ένα= 1 είναι μια λογαριθμική μονάδα. Θυμηθείτε μια για πάντα: λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση ένααπό αυτήν ακριβώς τη βάση ισούται με ένα.
κούτσουρο ένα 1 = 0 είναι λογαριθμικό μηδέν. Βάση έναμπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα περιέχει ένα, ο λογάριθμος είναι ίσος με μηδέν! Επειδή έναΤο 0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.